Determine as raízes quadradas de Z=4+4 \sqrt{3} i.

Passo 1

O enunciado dá o número complexo Z=4+4\sqrt{3}\,i e pede todas as raízes quadradas de Z; isto é, todos os complexos w tais que w^{2}=Z. As informações relevantes são:
Z=4+4\sqrt{3}\,i.
A tarefa é encontrar todos os w\in\mathbb{C} com w^{2}=4+4\sqrt{3}\,i.

Passo 2

Escolho resolver com o método algébrico padrão: escrever a raiz quadrada na forma w=x+yi com x,y reais, expandir w^{2} e igualar as partes real e imaginária com as de Z. Esse método é direto e só usa álgebra elementar, então é adequado para prova sem depender de argumentos geométricos complicados.

Passo 3

Seja
w = x + y i,
com x,y\in\mathbb{R}. Calculamos o quadrado:
w^{2}=(x+yi)^{2}=x^{2}-y^{2}+2xy\,i.
Como queremos w^{2}=Z, igualamos as partes real e imaginária:
\begin{cases} x^{2}-y^{2}=4,\\[4pt] 2xy=4\sqrt{3}. \end{cases}]

Passo 4

Uma dica útil para resolver esse tipo de sistema é usar o módulo. Se w^{2}=Z, então |w|^{2}=|Z|^{1} — mais precisamente, |w|^{2}=|Z| porque |w^{2}|=|w|^{2} e |w^{2}|=|Z|. Primeiro calculamos |Z|:
|Z|=\sqrt{(4)^{2}+(4\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{16+48}=\sqrt{64}=8.
Logo |w|^{2}=|Z|=8, ou seja
x^{2}+y^{2}=8.

Passo 5

Agora temos o sistema mais simples
\begin{cases} x^{2}-y^{2}=4,\\[4pt] x^{2}+y^{2}=8. \end{cases}
Somando as duas equações:
2x^{2}=12\quad\Rightarrow\quad x^{2}=6\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{6}.
Substituindo em x^{2}+y^{2}=8:
y^{2}=8-x^{2}=8-6=2\quad\Rightarrow\quad y=\pm\sqrt{2}.]

Passo 6

Precisamos escolher os sinais de x e y de modo que a segunda equação original 2xy=4\sqrt{3} seja satisfeita. Dividindo por 2 dá xy=2\sqrt{3}, que é positivo, portanto x e y têm o mesmo sinal. As combinações possíveis são:
(x,y)=(\sqrt{6},\sqrt{2})\quad\text{ou}\quad(x,y)=(-\sqrt{6},-\sqrt{2}).
Assim as raízes candidatas são
w_{1}=\sqrt{6}+\sqrt{2}\,i\quad\text{e}\quad w_{2}=-\sqrt{6}-\sqrt{2}\,i.

Passo 7

Verificação rápida (para nos deixar tranquilos): calculamos w_{1}^{2}:
(\sqrt{6}+\sqrt{2}\,i)^{2}=(6-2)+2\sqrt{6}\sqrt{2}\,i=4+2\sqrt{12}\,i=4+2\cdot2\sqrt{3}\,i=4+4\sqrt{3}\,i,
que é exatamente Z. Como w_{2}=-w_{1}, temos w_{2}^{2}=w_{1}^{2}=Z. Portanto as duas soluções estão corretas.

Resposta

\sqrt{6}+\sqrt{2}\,i
-\sqrt{6}-\sqrt{2}\,i

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