Determine as raízes quadradas de
.
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede todas as raízes quadradas de
; isto é, todos os complexos
tais que
. As informações relevantes são:
A tarefa é encontrar todos os
com
.
Passo 2
Escolho resolver com o método algébrico padrão: escrever a raiz quadrada na forma
com
reais, expandir
e igualar as partes real e imaginária com as de
. Esse método é direto e só usa álgebra elementar, então é adequado para prova sem depender de argumentos geométricos complicados.
Passo 3
Seja
com
. Calculamos o quadrado:
Como queremos
, igualamos as partes real e imaginária:
Passo 4
Uma dica útil para resolver esse tipo de sistema é usar o módulo. Se
, então
— mais precisamente,
porque
e
. Primeiro calculamos
:
Logo
, ou seja
Passo 5
Agora temos o sistema mais simples
Somando as duas equações:
Substituindo em
:
Passo 6
Precisamos escolher os sinais de
e
de modo que a segunda equação original
seja satisfeita. Dividindo por 2 dá
, que é positivo, portanto
e
têm o mesmo sinal. As combinações possíveis são:
Assim as raízes candidatas são
Passo 7
Verificação rápida (para nos deixar tranquilos): calculamos
:
que é exatamente
. Como
, temos
. Portanto as duas soluções estão corretas.