Resolva as seguintes equações no campo dos
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Liste das informações relevantes que o enunciado dá:
- É uma equação polinomial de grau 8 em
. - O termo intermediário aparece como potência
, o que sugere que podemos tratar a equação como uma quadrática em . - A solução pode envolver números reais e complexos; vamos determinar todas as raízes (no campo complexo), e depois apontar quais são reais.
Passo 2
Técnica útil: fazer uma substituição para reduzir o grau. Defina
Substituindo na equação original obtemos uma equação quadrática em
:
Explicação didática: quando um polinômio contém apenas potências de
que são múltiplas de um mesmo expoente (aqui
), substituir por
transforma o polinômio num de grau menor (aqui grau
), que é muito mais fácil de resolver.
Passo 3
Vamos resolver a quadrática
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Primeiro calcule o discriminante:
A raiz quadrada de
é
. Assim as raízes são
Portanto
e
Interpretação: as soluções para
nos dizem que
satisfaz uma das duas equações
Passo 4
Resolver
.
Dois caminhos equivalentes e ambos simples:
Dois caminhos equivalentes e ambos simples:
Método 1 (fatoração): escreva
Isso dá as raízes
Método 2 (forma polar / raízes): escreva
. As raízes quarta de
têm módulo
e ângulos
Logo as raízes são
, que correspondem a
. Mesmo resultado.
Passo 5
Resolver
.
Novamente dois caminhos:
Novamente dois caminhos:
Método 1 (fatoração):
. Assim as raízes são
Método 2 (raízes da unidade):
. As quarta raízes de
têm módulo
e ângulos
resultando em
.
Passo 6
Verificação / fatoração completa: juntando os dois casos temos todas as oito raízes. Podemos também observar que a fatoração do polinômio original é
o que se expande exatamente para o polinômio dado. Isso confirma que as raízes das duas quartas potências são precisamente as raízes da equação original. Todas as oito raízes listadas são distintas.
Passo 7
Resumo final e observação sobre quais são reais: das oito raízes, as reais são
e
; as restantes são complexas puros imaginários
e
. Força aí — essas são todas as soluções e um padrão que vale memorizar: quando você tem um polinômio em
, use
, resolva a quadrática em
e depois recupere as quatro raízes de cada valor de
.