Resolva as seguintes equações no campo dos
\mathrm{x}^{8}-17 \mathrm{x}^{4}+16=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\mathrm{x}^{8}-17 \mathrm{x}^{4}+16=0
Liste das informações relevantes que o enunciado dá:
  • É uma equação polinomial de grau 8 em \mathrm{x}.
  • O termo intermediário aparece como potência \mathrm{x}^{4}, o que sugere que podemos tratar a equação como uma quadrática em \mathrm{x}^{4}.
  • A solução pode envolver números reais e complexos; vamos determinar todas as raízes (no campo complexo), e depois apontar quais são reais.

Passo 2

Técnica útil: fazer uma substituição para reduzir o grau. Defina
y=\mathrm{x}^{4}.
Substituindo na equação original obtemos uma equação quadrática em y:
y^{2}-17y+16=0.
Explicação didática: quando um polinômio contém apenas potências de \mathrm{x} que são múltiplas de um mesmo expoente (aqui 4), substituir por y=\mathrm{x}^{4} transforma o polinômio num de grau menor (aqui grau 2), que é muito mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos resolver a quadrática
y^{2}-17y+16=0.
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Primeiro calcule o discriminante:
\Delta = (-17)^{2}-4\cdot1\cdot16 = 289-64 = 225.
A raiz quadrada de \Delta é \sqrt{225}=15. Assim as raízes são
y=\frac{17\pm15}{2}.
Portanto
y_{1}=\frac{17+15}{2}=\frac{32}{2}=16
e
y_{2}=\frac{17-15}{2}=\frac{2}{2}=1.
Interpretação: as soluções para y nos dizem que \mathrm{x} satisfaz uma das duas equações
\mathrm{x}^{4}=16\quad\text{ou}\quad \mathrm{x}^{4}=1.

Passo 4

Resolver \mathrm{x}^{4}=16.
Dois caminhos equivalentes e ambos simples:
Método 1 (fatoração): escreva
\mathrm{x}^{4}-16=(\mathrm{x}^{2}-4)(\mathrm{x}^{2}+4)=(\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}+2)(\mathrm{x}-2i)(\mathrm{x}+2i).
Isso dá as raízes
\mathrm{x}=2,\quad \mathrm{x}=-2,\quad \mathrm{x}=2i,\quad \mathrm{x}=-2i.
Método 2 (forma polar / raízes): escreva 16=16e^{i0}. As raízes quarta de 16 têm módulo 16^{1/4}=2 e ângulos
\theta_k=\frac{0+2\pi k}{4}=\frac{\pi k}{2},\quad k=0,1,2,3.
Logo as raízes são 2e^{i\pi k/2}, que correspondem a 2,2i,-2,-2i. Mesmo resultado.

Passo 5

Resolver \mathrm{x}^{4}=1.
Novamente dois caminhos:
Método 1 (fatoração): \mathrm{x}^{4}-1=(\mathrm{x}^{2}-1)(\mathrm{x}^{2}+1)=(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}+1)(\mathrm{x}-i)(\mathrm{x}+i). Assim as raízes são
\mathrm{x}=1,\quad \mathrm{x}=-1,\quad \mathrm{x}=i,\quad \mathrm{x}=-i.
Método 2 (raízes da unidade): 1=e^{i0}. As quarta raízes de 1 têm módulo 1 e ângulos
\theta_k=\frac{0+2\pi k}{4}=\frac{\pi k}{2},\quad k=0,1,2,3,
resultando em 1,i,-1,-i.

Passo 6

Verificação / fatoração completa: juntando os dois casos temos todas as oito raízes. Podemos também observar que a fatoração do polinômio original é
\mathrm{x}^{8}-17\mathrm{x}^{4}+16=(\mathrm{x}^{4}-16)(\mathrm{x}^{4}-1),
o que se expande exatamente para o polinômio dado. Isso confirma que as raízes das duas quartas potências são precisamente as raízes da equação original. Todas as oito raízes listadas são distintas.

Passo 7

Resumo final e observação sobre quais são reais: das oito raízes, as reais são \pm1 e \pm2; as restantes são complexas puros imaginários \pm i e \pm 2i. Força aí — essas são todas as soluções e um padrão que vale memorizar: quando você tem um polinômio em \mathrm{x}^{4}, use y=\mathrm{x}^{4}, resolva a quadrática em y e depois recupere as quatro raízes de cada valor de y.

Resposta

1
-1
i
-i
2
-2
2i
-2i

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