Calcule f+g, f-g, f g, fg, gf.
f(x)=raizx ; g(x)=x^2+1

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos as funções
f(x)=\sqrt{x} e g(x)=x^{2}+1
O objetivo é calcular as operações f+g, f–g, f⋅g, f/g e g/f, lembrando sempre de observar o domínio de cada resultado. A teoria que vamos usar é a combinação simples de funções e interseção de domínios.

Passo 2

Cálculo de f+g:
A soma de duas funções é dada por (f+g)(x)=f(x)+g(x). Então:
(f+g)(x)=raizx + (x^2+1)=raizx+x^2+1
O domínio é D_{f+g}=D_{f}\cap D_{g}=[0,\infty) pois f exige x\ge0 e g está definido para todo x.

Passo 3

Cálculo de f–g:
A diferença é (f-g)(x)=f(x)-g(x). Assim:
(f-g)(x)=raizx - (x^2+1)=raizx-x^2-1
O domínio continua sendo x\ge0, logo D_{f-g}=[0,\infty).

Passo 4

Cálculo do produto f⋅g:
O produto de funções é (f g)(x)=f(x)\cdot g(x). Temos:
(fg)(x)=raizxcdot(x^2+1)=x^12x^2+raizx=x^52+raizx
O domínio é novamente [0,\infty), pois nenhum fator introduz restrição extra.

Passo 5

Cálculo do quociente f/g:
Para f/g usamos (f/g)(x)=f(x)/g(x). Então:
fg(x)=raizxx^2+1
Aqui g(x)=x^{2}+1 nunca zera, e f exige x\ge0. Logo D_{f/g}=[0,\infty).

Passo 6

Cálculo do quociente g/f:
Para g/f temos (g/f)(x)=g(x)/f(x). Isso dá:
gf(x)=x^2+1raizx
Como f(x)=\sqrt{x} não pode ser zero, exigimos x>0. Logo D_{g/f}=(0,\infty).

Resposta

f+g=\sqrt{x}+x^{2}+1, D=[0,\infty)
f-g=\sqrt{x}-x^{2}-1, D=[0,\infty)
fg=x^{5/2}+\sqrt{x}, D=[0,\infty)
f/g=\frac{\sqrt{x}}{x^{2}+1}, D=[0,\infty)
g/f=\frac{x^{2}+1}{\sqrt{x}}, D=(0,\infty)

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