Calcule o ramo principal:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o ramo principal do logaritmo complexo de
.
Informações dadas: o número complexo é .
O que se pede: encontrar tomando o ramo principal do logaritmo (ou seja, escolher o argumento principal).
Informações dadas: o número complexo é
O que se pede: encontrar
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): para
o logaritmo complexo (ramo principal) é dado por
onde
é o módulo de
e
é o argumento principal de
.
Explicando as peças:
Explicando as peças:
-
para . É um número real positivo e é o logaritmo natural desse módulo. -
é o ângulo (em radianos) que o vetor que representa
faz com o eixo real positivo. No ramo principal tomamos .
Observação: o logaritmo complexo é multivalorado em geral, escrevendo-se para, mas o ramo principal corresponde ao caso com principal (ou seja, sem adicionar ).
Passo 3
Calculemos o módulo de
. Aqui
e
. Então
Logo a parte real do logaritmo será
.
Passo 4
Agora o argumento. Podemos usar
quando sabemos em qual quadrante
está. Como
e
,
está no primeiro quadrante, então
Recordando os ângulos conhecidos:
. Portanto
que está dentro do intervalo principal
, então não precisamos ajustar nada.
Passo 5
Juntando módulo e argumento no fórmula do ramo principal:
Uma forma alternativa de ver isso (opcional): escrevendo
em forma polar
, o logaritmo principal é
.