Calcule o ramo principal:
\log (1+i \sqrt{3})

Passo 1

O enunciado pede para calcular o ramo principal do logaritmo complexo de 1+i\sqrt{3}.
Informações dadas: o número complexo é z=1+i\sqrt{3}.
O que se pede: encontrar \log(1+i\sqrt{3}) tomando o ramo principal do logaritmo (ou seja, escolher o argumento principal).

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): para z\neq 0 o logaritmo complexo (ramo principal) é dado por
\log z = \ln|z| + i\,\Arg(z),
onde |z| é o módulo de z e \Arg(z) é o argumento principal de z.
Explicando as peças:
  • |z|=\sqrt{x^2+y^2} para z=x+iy. É um número real positivo e \ln|z| é o logaritmo natural desse módulo.
  • \Arg(z) é o ângulo (em radianos) que o vetor que representa z faz com o eixo real positivo. No ramo principal tomamos \Arg(z)\in(-\pi,\pi].
    Observação: o logaritmo complexo é multivalorado em geral, escrevendo-se \ln|z|+i(\Arg(z)+2\pi k) para k\in\mathbb{Z}, mas o ramo principal corresponde ao caso com \Arg principal (ou seja, sem adicionar 2\pi k).

Passo 3

Calculemos o módulo de z=1+i\sqrt{3}. Aqui x=1 e y=\sqrt{3}. Então
|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
Logo a parte real do logaritmo será \ln|z|=\ln 2.

Passo 4

Agora o argumento. Podemos usar \theta=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) quando sabemos em qual quadrante z está. Como x=1>0 e y=\sqrt{3}>0, z está no primeiro quadrante, então
\Arg(z)=\arctan\!\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right)=\arctan(\sqrt{3}).
Recordando os ângulos conhecidos: \tan\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}. Portanto
\Arg(z)=\frac{\pi}{3},
que está dentro do intervalo principal (-\pi,\pi], então não precisamos ajustar nada.

Passo 5

Juntando módulo e argumento no fórmula do ramo principal:
\log(1+i\sqrt{3})=\ln|1+i\sqrt{3}| + i\,\Arg(1+i\sqrt{3})=\ln 2 + i\frac{\pi}{3}.
Uma forma alternativa de ver isso (opcional): escrevendo z em forma polar z=2e^{i\pi/3}, o logaritmo principal é \ln 2 + i\pi/3.

Resposta

\log(1+i\sqrt{3})=\ln 2 + i\frac{\pi}{3}

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