Determine k \in \mathbb{R} de modo que p(x)=3 x^{4}-8 x^{3}-6 x^{2}+24 x+k admita uma raiz dupla.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=3x^{4}-8x^{3}-6x^{2}+24x+k
e pede para determinar k\in\mathbb{R} de modo que p(x) admita uma raiz dupla.
Informações relevantes que temos: o polinômio p(x) é de grau 4 e o parâmetro desconhecido é k. A pergunta é: quais valores de k fazem com que exista um número real r tal que r seja raiz de multiplicidade 2 de p(x).

Passo 2

O que significa “raiz dupla” de forma prática (explicação didática): uma raiz r tem multiplicidade 2 (ou é uma raiz dupla) quando o fator (x-r)^{2} divide p(x). Uma forma operacional muito usada em provas é a seguinte propriedade simples e útil:
Se r é raiz de multiplicidade pelo menos 2 de p(x), então
p(r)=0\quad\text{e}\quad p'(r)=0.
Por que isso é verdade? Se p(x)=(x-r)^{2}q(x) para algum polinômio q(x), derivando obtemos
p'(x)=2(x-r)q(x)+(x-r)^{2}q'(x)=(x-r)\big(2q(x)+(x-r)q'(x)\big),
logo x=r anula p e também anula p'. Um exemplo simples: p(x)=(x-2)^{2} p'(x)=2(x-2), ambos nulos em x=2.
Portanto, o método que vamos usar: encontrar os pontos r que anulam p' (candidatos a raiz dupla) e impor p(r)=0 para achar k.

Passo 3

Calculemos a derivada p'(x) passo a passo:
p(x)=3x^{4}-8x^{3}-6x^{2}+24x+k.
Derivando termo a termo:
p'(x)=12x^{3}-24x^{2}-12x+24.
Fatorando um 12 para simplificar:
p'(x)=12\big(x^{3}-2x^{2}-x+2\big).
Agora fatoramos o polinômio cúbico por agrupamento. Separe em dois grupos:
x^{3}-2x^{2}-x+2=(x^{3}-2x^{2})+(-x+2)=x^{2}(x-2)-1(x-2).
Colhendo o fator comum (x-2) obtemos
x^{2}(x-2)-1(x-2)=(x^{2}-1)(x-2).
E x^{2}-1 é uma diferença de quadrados:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Portanto
p'(x)=12(x-1)(x+1)(x-2).
Conclusão: os pontos onde p'(x)=0 são x=1, x=-1 e x=2. Só esses podem ser raízes duplas de p(x).

Passo 4

Agora impomos p(r)=0 para cada candidato r e resolvemos para k.
  1. Para r=1:
p(1)=3(1)^{4}-8(1)^{3}-6(1)^{2}+24(1)+k.
Calcule passo a passo:
3-8-6+24+k = (3-8) + (-6+24) + k = -5 + 18 + k = 13 + k.
Impor p(1)=0
13+k=0\quad\Rightarrow\quad k=-13.
  1. Para r=-1:
p(-1)=3(-1)^{4}-8(-1)^{3}-6(-1)^{2}+24(-1)+k.
Calcule:
3 + 8 -6 -24 + k = (3+8) + (-6-24) + k = 11 -30 + k = -19 + k.
Impor p(-1)=0
-19+k=0\quad\Rightarrow\quad k=19.
  1. Para r=2:
p(2)=3(2)^{4}-8(2)^{3}-6(2)^{2}+24(2)+k.
Calcule:
3\cdot16 -8\cdot8 -6\cdot4 +48 + k = 48 -64 -24 +48 + k.
Agrupando:
(48-64) + (-24+48) + k = -16 + 24 + k = 8 + k.
Impor p(2)=0
8+k=0\quad\Rightarrow\quad k=-8.
Assim obtemos três valores de k possíveis: k=-13, k=19 e k=-8.

Passo 5

Verificação final (para garantir que a multiplicidade é exatamente 2, não maior): calculemos a segunda derivada e avaliemos em cada candidato. Se p''(r)\neq 0, então a multiplicidade em r é exatamente 2.
Derivando p'(x)=12x^{3}-24x^{2}-12x+24 obtemos
p''(x)=36x^{2}-48x-12 = 12(3x^{2}-4x-1).
Avaliações:
p''(1)=12(3-4-1)=12(-2)=-24\neq 0,
p''(-1)=12(3+4-1)=12\cdot 6=72\neq 0,
p''(2)=12(12-8-1)=12\cdot 3=36\neq 0.
Como p''(r)\neq 0 para r=1,-1,2, em cada caso a multiplicidade é exatamente 2. Portanto os três valores de k encontrados são válidos e correspondem a polinômios que têm uma raiz dupla em x=1, x=-1 e x=2, respectivamente.

Resposta

-13
19
-8

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