Determine
de modo que
admita uma raiz dupla.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede para determinar
de modo que
admita uma raiz dupla.
Informações relevantes que temos: o polinômio é de grau
e o parâmetro desconhecido é
. A pergunta é: quais valores de
fazem com que exista um número real
tal que
seja raiz de multiplicidade
de
.
Informações relevantes que temos: o polinômio
Passo 2
O que significa “raiz dupla” de forma prática (explicação didática): uma raiz
tem multiplicidade
(ou é uma raiz dupla) quando o fator
divide
. Uma forma operacional muito usada em provas é a seguinte propriedade simples e útil:
Se
é raiz de multiplicidade pelo menos
de
, então
Por que isso é verdade? Se
para algum polinômio
, derivando obtemos
logo
anula
e também anula
. Um exemplo simples:
dá
, ambos nulos em
.
Portanto, o método que vamos usar: encontrar os pontos
que anulam
(candidatos a raiz dupla) e impor
para achar
.
Passo 3
Calculemos a derivada
passo a passo:
Derivando termo a termo:
Fatorando um
para simplificar:
Agora fatoramos o polinômio cúbico por agrupamento. Separe em dois grupos:
Colhendo o fator comum
obtemos
E
é uma diferença de quadrados:
Portanto
Conclusão: os pontos onde
são
,
e
. Só esses podem ser raízes duplas de
.
Passo 4
Agora impomos
para cada candidato
e resolvemos para
.
- Para
:
Calcule passo a passo:
Impor
dá
- Para
:
Calcule:
Impor
dá
- Para
:
Calcule:
Agrupando:
Impor
dá
Assim obtemos três valores de
possíveis:
,
e
.
Passo 5
Verificação final (para garantir que a multiplicidade é exatamente
, não maior): calculemos a segunda derivada e avaliemos em cada candidato. Se
, então a multiplicidade em
é exatamente
.
Derivando
obtemos
Avaliações:
Como
para
, em cada caso a multiplicidade é exatamente
. Portanto os três valores de
encontrados são válidos e correspondem a polinômios que têm uma raiz dupla em
,
e
, respectivamente.