Determine as raízes dos seguintes polinômios:
.
Passo 1
O enunciado nos dá o polinômio
e pede para determinar as suas raízes (ou seja, todos os valores de
tais que
). Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Vou procurar uma fatoração do polinômio por agrupamento — isto é, dividir os termos em grupos que compartilhem um fator comum. Separei os termos em dois grupos:
Agora intento fatorar cada grupo.
Passo 3
Fatorando o primeiro grupo
por
e o segundo grupo
por
, obtenho:
Então os dois grupos têm o mesmo fator
. Posso, portanto, fatorar por agrupamento:
Aqui usei a propriedade distributiva: se
, então podemos extrair
como fator comum.
Passo 4
Agora fatoro cada fator quadrático/cúbico resultante. Começo por
Procuro dois números que multiplicados deem
e somados deem
. Esses números são
e
. Assim,
As raízes correspondentes são
e
.
Passo 5
O outro fator é
. Reconhecemos que é uma diferença de cubos e usamos a fórmula
Aplicando com
e
,
A raiz real desse fator é
(vinda de
). Falta resolver
.
Passo 6
Para resolver
uso a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para a equação
as soluções são
Aqui
,
,
. Calculando o discriminante:
Como
, as raízes são complexas conjugadas:
Passo 7
Juntando todas as raízes obtidas dos fatores:
- de
vem ; - de
vêm ; - de
vem ; - de
vem .
Todas as raízes são simples (multiplicidade
), pois cada fator linear/quadrático apareceu com expoente
.