Determine as raízes dos seguintes polinômios:
p(x)=x^{5}+3 x^{4}+2 x^{3}-x^{2}-3 x-2.

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
p(x)=x^{5}+3x^{4}+2x^{3}-x^{2}-3x-2
e pede para determinar as suas raízes (ou seja, todos os valores de x tais que p(x)=0). Informações relevantes fornecidas:
\text{grau de }p=5,\quad \text{coeficientes: }1,\;3,\;2,\;-1,\;-3,\;-2.

Passo 2

Vou procurar uma fatoração do polinômio por agrupamento — isto é, dividir os termos em grupos que compartilhem um fator comum. Separei os termos em dois grupos:
p(x)=(x^{5}+3x^{4}+2x^{3})+(-x^{2}-3x-2).
Agora intento fatorar cada grupo.

Passo 3

Fatorando o primeiro grupo (x^{5}+3x^{4}+2x^{3}) por x^{3} e o segundo grupo (-x^{2}-3x-2) por -1, obtenho:
x^{5}+3x^{4}+2x^{3}=x^{3}(x^{2}+3x+2),
-x^{2}-3x-2=-1\cdot(x^{2}+3x+2).
Então os dois grupos têm o mesmo fator (x^{2}+3x+2). Posso, portanto, fatorar por agrupamento:
p(x)=x^{3}(x^{2}+3x+2)-1\cdot(x^{2}+3x+2)=(x^{3}-1)(x^{2}+3x+2).
Aqui usei a propriedade distributiva: se A\cdot C+B\cdot C=(A+B)\cdot C, então podemos extrair C como fator comum.

Passo 4

Agora fatoro cada fator quadrático/cúbico resultante. Começo por
x^{2}+3x+2.
Procuro dois números que multiplicados deem 2 e somados deem 3. Esses números são 1 e 2. Assim,
x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2).
As raízes correspondentes são x=-1 e x=-2.

Passo 5

O outro fator é x^{3}-1. Reconhecemos que é uma diferença de cubos e usamos a fórmula
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Aplicando com a=x e b=1,
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).
A raiz real desse fator é x=1 (vinda de x-1=0). Falta resolver x^{2}+x+1=0.

Passo 6

Para resolver x^{2}+x+1=0 uso a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para a equação \;ax^{2}+bx+c=0\; as soluções são
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=1, c=1. Calculando o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=1^{2}-4\cdot1\cdot1=1-4=-3.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas:
x=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}.

Passo 7

Juntando todas as raízes obtidas dos fatores:
  • de x-1 vem x=1;
  • de x^{2}+x+1 vêm x=\dfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2};
  • de x+1 vem x=-1;
  • de x+2 vem x=-2.
Todas as raízes são simples (multiplicidade 1), pois cada fator linear/quadrático apareceu com expoente 1.

Resposta

x=1
x=-1
x=-2
x=\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}
x=\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}

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