Seja
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(a) Determine o gradiente de no ponto
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(a) Determine o gradiente de no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o gradiente da função $ f(x, y) = x^{2}y + e^{y} $ no ponto
. O gradiente é um conceito do cálculo que nos dá uma direção de maior crescimento da função e envolve derivadas parciais. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Ela nos mostra como a função muda quando só uma das variáveis muda, mantendo a outra fixa. Então, vamos calcular a derivada de $ f $ em relação a $ x $, que a gente chama de $ f_x $.
Passo 3
Calculando $ f_x $:
Como $ e^{y} $ não depende de $ x $, sua derivada em relação a $ x $ é zero. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de $ f $ em relação a $ y $, que chamamos de $ f_y $:
Aqui, a derivada de $ x^{2}y $ em relação a $ y $ é $ x^{2} $ e a derivada de $ e^{y} $ é $ e^{y} $. Então:
Passo 5
Agora que temos as duas derivadas parciais, o gradiente $ \nabla f $ é o vetor formado por elas:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 6
Finalmente, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Basta substituir $ x = 1 $ e $ y = 0 $ nas expressões das derivadas:
Para $ f_x $:
Para $ f_x $:
Para $ f_y $:
Resposta
O gradiente de $ f $ no ponto
é $ \nabla f(1, 0) = \left(0, 2\right) $.