Mostre que a razão entre as áreas de triângulos semelhantes é o quadrado da razão de semelhança.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se dois triângulos são semelhantes com razão de semelhança
, então a razão entre as áreas deles é
. O conteúdo envolve: definição de semelhança de triângulos, propriedades de segmentos em triângulos semelhantes e a fórmula da área de um triângulo usando base e altura.
Passo 2
Dois triângulos são semelhantes quando seus ângulos correspondentes são iguais e seus lados correspondentes são proporcionais. Seja
e
semelhantes, e definamos a razão de semelhança por
Em semelhança, não só os lados mas qualquer segmento linear correspondente também é escalado pela mesma razão
. Isso vale para as alturas relativas às bases correspondentes. Se
é a altura de
sobre a base
e
a altura de
sobre a base
, então
Passo 3
A área de um triângulo é dada por
. Logo:
$$área(\triangle ABC)=\frac12,AB\times h_{ABC},\
área(\triangle DEF)=\frac12,DE\times h_{DEF}.$$
Passo 4
Dividindo as duas áreas, obtemos:
Resposta
Sejam
e
semelhantes com razão de semelhança
. Então