Mostre que a razão entre as áreas de triângulos semelhantes é o quadrado da razão de semelhança.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se dois triângulos são semelhantes com razão de semelhança k, então a razão entre as áreas deles é k^2. O conteúdo envolve: definição de semelhança de triângulos, propriedades de segmentos em triângulos semelhantes e a fórmula da área de um triângulo usando base e altura.

Passo 2

Dois triângulos são semelhantes quando seus ângulos correspondentes são iguais e seus lados correspondentes são proporcionais. Seja triang<= ABC e triang<= DEF semelhantes, e definamos a razão de semelhança por k = DEAB = DFAC = EFBC Em semelhança, não só os lados mas qualquer segmento linear correspondente também é escalado pela mesma razão k. Isso vale para as alturas relativas às bases correspondentes. Se hABC é a altura de triang<= ABC sobre a base AB e hDEF a altura de triang<= DEF sobre a base DE, então
hDEFhABC = k

Passo 3

A área de um triângulo é dada por tfrac12timesbasetimesa. Logo:
$$área(\triangle ABC)=\frac12,AB\times h_{ABC},\
área(\triangle DEF)=\frac12,DE\times h_{DEF}.$$

Passo 4

Dividindo as duas áreas, obtemos:
área(triang<= DEF)área(triang<= ABC) =tfrac12,DE,hDEFtfrac12,AB,hABC =DEABcdothDEFhABC = kcdot k = k^2áá Portanto, mostramos que a razão entre as áreas de triângulos semelhantes é exatamente o quadrado da razão de semelhança.

Resposta

Sejam triang<= ABC e triang<= DEF semelhantes com razão de semelhança k. Então
área(triang<= DEF)área(triang<= ABC) = k^2áá

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