9 - Calcule a razão de espiras de um transformador usado para “casar” uma carga de 50 \Omega com uma linha de 450 \Omega.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede: calcular a razão de espiras de um transformador usado para “casar” uma carga com uma linha (ou seja, fazer com que a impedância vista pela linha seja igual à impedância característica da linha).
  • Dados fornecidos:
    • Impedância da linha: \;450\\ \Omega.
    • Impedância da carga (ligada ao secundário): \;50\\ \Omega.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicação didática e passo a passo).
  • Em um transformador ideal, a tensão entre primário e secundário escala com a razão de espiras:
    \frac{V_1}{V_2} = \frac{N_1}{N_2},
    onde:
    • V_1 = tensão no primário (lado ligado à linha),
    • V_2 = tensão no secundário (lado ligado à carga),
    • N_1 = número de espiras do primário,
    • N_2 = número de espiras do secundário.
  • A corrente escala inversamente:
    \frac{I_1}{I_2} = \frac{N_2}{N_1}.
  • A impedância refletida ao primário (a impedância que a linha “vê”) é dada por combinar as duas relações acima:
    Z_{\text{in}} = \frac{V_1}{I_1} = \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2 \frac{V_2}{I_2} = \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2 Z_L,
    onde Z_L é a impedância da carga (no secundário) e Z_{\text{in}} é a impedância refletida no primário.
Explicação em palavras: como a tensão sobe com N_1/N_2 e a corrente cai com N_2/N_1, a impedância (tensão/ corrente) muda com o quadrado da razão de espiras.

Passo 3

Condição de casamento de impedâncias.
  • Para casar a carga com a linha queremos que a impedância refletida ao primário seja igual à impedância da linha: Z_{\text{in}} = Z_{\text{linha}}.
  • Usando a fórmula de reflexão: \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2 Z_L = Z_{\text{linha}}.

Passo 4

Substituir os valores numéricos e isolar a razão de espiras.
  • Substituindo Z_L = 50\\ \Omega e Z_{\text{linha}} = 450\\ \Omega: \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2 \cdot 50 = 450.
  • Isolando: \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2 = \frac{450}{50} = 9.
  • Logo: \frac{N_1}{N_2} = \sqrt{9}.

Passo 5

Interpretação prática e verificação rápida (ensino para a prova).
  • A expressão \frac{N_1}{N_2}=\sqrt{9} nos dá a razão de espiras necessária entre primário (lado da linha) e secundário (lado da carga).
  • Verificação: substituindo de volta na relação de reflexão, a impedância refletida seria
    Z_{\text{in}} = \left(\sqrt{9}\,\right)^2 \cdot 50 = 9 \cdot 50 = 450\\ \Omega,
    que é exatamente a impedância da linha, portanto o casamento está correto.
  • Observação útil para a prova: se N_1/N_2>1, o primário tem mais espiras que o secundário; a tensão no primário será maior que no secundário, e a corrente no primário será menor que a corrente no secundário, conforme as relações mostradas anteriormente.

Resposta

\displaystyle N_1:N_2 = 3:1

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