Calcule a razão entre as separações de dois níveis de energia adjacentes, no caso de rotações em torno da linha que une os dois átomos ( \Delta K_{\|}) e no caso de rotações em torno de um eixo perpendicular a essa linha ( \Delta K \perp ).
Obs.: A massa de um átomo fica praticamente concentrada no núcleo, que tem um diâmetro da ordem de 10^{-15} \mathrm{~m}, e a distância típica de um átomo ao outro numa molécula é da ordem de 10^{-10} \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado pede a razão
\frac{\Delta K_{\|}}{\Delta K_{\perp}}
entre as separações de níveis de energia de um rotor rígido em duas orientações: rotação em torno da linha que une os átomos (eixo paralelo ao laço de ligação) e em torno de um eixo perpendicular a essa linha. Para um rotor rígido sabemos que os espaçamentos de energia adjacentes escalam como
\Delta K \propto \frac{\hbar^{2}}{2I},
onde I é o momento de inércia em relação ao eixo de rotação. Logo
\frac{\Delta K_{\|}}{\Delta K_{\perp}} =\frac{\hbar^{2}/(2I_{\|})}{\hbar^{2}/(2I_{\perp})} =\frac{I_{\perp}}{I_{\|}}.

Passo 2

Calcule I_{\|}, o momento de inércia para rotação em torno do eixo que passa pelos dois núcleos. Como a massa do átomo está concentrada no núcleo de diâmetro da ordem de 10^{-15}\,\mathrm{m}, tomamos o raio nuclear
r\approx\frac{10^{-15}\,\mathrm{m}}{2}=5\times10^{-16}\,\mathrm{m}.
Cada núcleo de massa m está praticamente sobre o eixo, mas contribui com
I_{\|}\approx 2\,m\,r^{2}.

Passo 3

Calcule I_{\perp}, o momento de inércia para rotação em torno de um eixo perpendicular à linha de ligação. As duas massas ficam a uma distância R/2 desse eixo, onde R\approx10^{-10}\,\mathrm{m} é o comprimento típico da ligação atômica. Então
I_{\perp}\approx 2\,m\Bigl(\frac{R}{2}\Bigr)^{2} = m\,\frac{R^{2}}{2}.

Passo 4

Forme a razão
\frac{\Delta K_{\|}}{\Delta K_{\perp}} =\frac{I_{\perp}}{I_{\|}} =\frac{m\,\tfrac{R^{2}}{2}}{2\,m\,r^{2}} =\frac{R^{2}}{4\,r^{2}} =\Bigl(\frac{R}{2\,r}\Bigr)^{2}.
Substituindo R\approx10^{-10}\,\mathrm{m} e r\approx5\times10^{-16}\,\mathrm{m}
\frac{R}{2\,r} =\frac{10^{-10}}{2\times5\times10^{-16}} =\frac{10^{-10}}{10^{-15}} =10^{5},
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\frac{\Delta K_{\|}}{\Delta K_{\perp}} =(10^{5})^{2} =10^{10}.

Resposta

\frac{\Delta K_{\|}}{\Delta K_{\perp}}\approx10^{10}.

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