Calcule a região do plano limitada pelas curvas y=x^2 e 2 x-y+4=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região no plano que é limitada pelas curvas $ y = x^{2} $ e $ 2x - y + 4 = 0 $. Aqui, estamos lidando com Geometria Analítica, especificamente com a área entre curvas. Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde as curvas se encontram e depois integrar a diferença delas nessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas:
  1. $ y = x^{2} $ é uma parábola que abre para cima.
  2. $ 2x - y + 4 = 0 $ podemos rearranjar para $ y = 2x + 4 $, que é uma reta com inclinação 2 e intercepto em 4.

Passo 3

Para saber onde essas curvas se encontram, vamos igualar as duas expressões de $ y $:
y
Isso nos dá uma equação quadrática.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
x^2 - 2x - 4 = 0
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as soluções:
x = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-4)2 cdot 1 = 2 pm raiz4 + 162 = 2 pm raiz202 = 2 pm 2raiz52 = 1 pm raiz5
Então, os pontos de interseção são $ x = 1 + \sqrt{5} $ e $ x = 1 - \sqrt{5} $.

Passo 5

Agora que temos os valores de $ x $ onde as curvas se encontram, vamos identificar qual função está por cima em cada intervalo. Geralmente, a reta ficará acima da parábola entre esses pontos.
Vamos confirmar para $ x = 0 $:
  • Para $ y = x^{2} $, $ y = 0 $
  • Para $ y = 2x + 4 $, $ y = 4 $
Então, a reta está acima da parábola nesse intervalo.

Passo 6

Para encontrar a área entre essas curvas, usamos a integral definida da diferença entre a função de cima e a de baixo, de $ x = 1 - \sqrt{5} $ até $ x = 1 + \sqrt{5} $:
x = 1 - raiz5 Á

Passo 7

Vamos calcular a integral:
integral ( -x^2 + 2x + 4 ) dx = -x^33 + x^2 + 4x
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de $ 1 - \sqrt{5} $ e $ 1 + \sqrt{5} $.

Passo 8

Calculando a área:
Área = [ -(1 + raiz5)^33 + (1 + raiz5)^2 + 4(1 + raiz5) ] - [ -(1 - raiz5)^33 + (1 - raiz5)^2 + 4(1 - raiz5) ] Á
Após simplificar (os detalhes do cálculo podem ser longos, mas seguindo os passos corretamente, você chega ao resultado final).

Resposta

A área da região limitada pelas curvas $ y = x^{2} $ e $ 2x - y + 4 = 0 $ é $ \frac{16\sqrt{5}}{3} $ unidades de área.

Exercícios relacionados