Todas as questões devem ter suas justificativas através de conceitos vistos em sala.
Uma empresa produz uma cesta de café da manhã especial para as festividades do Natal. Cada cesta é feita de MDF com formato de um prisma quadrangular reto sem tampa superior e gastando 12 m^2 do material. Determine o volume máximo da cesta.

Passo 1

Estamos querendo maximizar o volume de uma cesta em forma de prisma quadrangular reto com base quadrada e sem tampa, usando um total de 12 m² de material. O que cai aqui é um problema de otimização com restrição de área. Vamos usar derivadas para achar o volume máximo.

Passo 2

Chamamos de x o lado da base quadrada e de h a altura do prisma. O volume é V = x^2 h. A área do material (base + 4 faces laterais) é dada por A = x^2 + 4xh, e a restrição diz que A = 12.

Passo 3

Da restrição obtemos h em função de x:
h = 12 - x^24x
Isso nos permite escrever o volume só em x:
V(x) = x^2 cdot 12 - x^24x = 12x - x^34

Passo 4

Para achar o máximo, derivamos V(x) em relação a x e igualamos a zero:
V'(x) = 12 - 3x^24 = 0
Logo, 12 - 3x^2 = 0 implica x^2 = 4 e, como x>0, temos x = 2 m.

Passo 5

Substituindo x = 2 na expressão de h:
h = 12 - 2^24cdot2 = 88 = 1 m
E o volume resultante é
V = x^2 h = 2^2 cdot 1 = 4 m^3

Resposta

4 m^3

Exercícios relacionados