Determine a divergência e o rotacional dos seguintes campos de vetores:
F(x, y, z)=(x y^2, z x^2, x)

Passo 1

O exercício pede para calcular a divergência e o rotacional do campo vetorial F(x,y,z) = (x y^2,;z x^2,;x), que envolve os conceitos de derivadas parciais no contexto de cálculo vetorial.

Passo 2

Para a divergência, aplicamos a definição nablacdot F = partial F1partial x + partial F2partial y + partial F3partial z. Calculando cada termo:
partialpartial x(x y^2) = y^2
partialpartial y(z x^2) = 0
partialpartial z(x) = 0
Somando, obtemos a divergência nabla cdot F = y^2 + 0 + 0 = y^2.

Passo 3

Para o rotacional, usamos nablatimes F = l(partialy F3 - partialz F2,;partialz F1 - partialx F3,;partialx F2 - partialy F1r). Calculando cada componente:
i) partialy F3 - partialz F2 = partialy(x) - partialz(z x^2) = 0 - x^2 = -x^2
ii) partialz F1 - partialx F3 = partialz(x y^2) - partialx(x) = 0 - 1 = -1
iii) partialx F2 - partialy F1 = partialx(z x^2) - partialy(x y^2) = 2xz - 2xy = 2x(z - y).
Assim, nabla times F = (-x^2, -1, 2x(z-y)).

Resposta

Divergência: nablacdot F = y^2.
Rotacional: nablatimes F = (-x^2,;-1,;2x(z - y)).

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