Calcule a região do plano limitada pelas curvas
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a área do plano que está entre as curvas $ y = 2x^{2} $ e $ 2x - y + 4 = 0 $. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de áreas entre curvas, que envolve encontrar os pontos de interseção das funções e integrar a diferença entre elas. Para resolver, precisamos identificar onde as duas curvas se encontram e depois calcular a área delimitada por elas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam, ou seja, onde $ y = 2x^{2} $ e $ 2x - y + 4 = 0 $ têm o mesmo valor de $ y $. Vamos igualar as duas equações para descobrir os valores de $ x $ que satisfazem ambas.
Passo 3
Reescrevendo a segunda equação para facilitar:
Agora, igualamos as duas expressões para $ y $:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ x $.
Passo 4
Subtraindo $ 2x + 4 $ de ambos os lados, temos:
Simplificando dividindo por 2:
Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 5
Agora que temos os valores de $ x $ onde as curvas se intersectam ($ x = -1 $ e $ x = 2 $), precisamos determinar qual das duas funções está por cima entre esses pontos. Vamos escolher alguns valores de $ x $ entre -1 e 2 para comparar:
-
Para $ x = 0 $:Aqui, $ y = 2x + 4 $ está acima.
-
Para $ x = 1 $:Novamente, $ y = 2x + 4 $ está acima.
Portanto, entre $ x = -1 $ e $ x = 2 $, a função $ y = 2x + 4 $ está sempre acima de $ y = 2x^{2} $.
Passo 6
Agora, vamos calcular a área entre as curvas usando a integral definida da diferença entre a função de cima e a função de baixo, no intervalo de $ x = -1 $ a $ x = 2 $:
Vamos integrar termo a termo.
Passo 7
Integrando cada termo:
Então, a integral completa fica:
Passo 8
Agora, avaliamos a expressão nos limites $ x = 2 $ e $ x = -1 $:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = -1 $:
Passo 9
Subtraindo o valor em $ x = -1 $ do valor em $ x = 2 $:
Resposta
A área limitada pelas curvas $ y = 2x^{2} $ e $ 2x - y + 4 = 0 $ é 9 unidades quadradas.