Calcule a região do plano limitada pelas curvas y=2 x^2 e 2 x-y+4=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a área do plano que está entre as curvas $ y = 2x^{2} $ e $ 2x - y + 4 = 0 $. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de áreas entre curvas, que envolve encontrar os pontos de interseção das funções e integrar a diferença entre elas. Para resolver, precisamos identificar onde as duas curvas se encontram e depois calcular a área delimitada por elas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam, ou seja, onde $ y = 2x^{2} $ e $ 2x - y + 4 = 0 $ têm o mesmo valor de $ y $. Vamos igualar as duas equações para descobrir os valores de $ x $ que satisfazem ambas.

Passo 3

Reescrevendo a segunda equação para facilitar:
2x - y + 4 = 0 Rightarrow y = 2x + 4
Agora, igualamos as duas expressões para $ y $:
y
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ x $.

Passo 4

Subtraindo $ 2x + 4 $ de ambos os lados, temos:
2x + 4
Simplificando dividindo por 2:
2x^2 - 2x - 4 = 0
Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
x^2 - x - 2 = 0
Isso nos dá duas soluções:
x = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32

Passo 5

Agora que temos os valores de $ x $ onde as curvas se intersectam ($ x = -1 $ e $ x = 2 $), precisamos determinar qual das duas funções está por cima entre esses pontos. Vamos escolher alguns valores de $ x $ entre -1 e 2 para comparar:
  • Para $ x = 0 $:
    x
    Aqui, $ y = 2x + 4 $ está acima.
  • Para $ x = 1 $:
    x = -1
    Novamente, $ y = 2x + 4 $ está acima.
Portanto, entre $ x = -1 $ e $ x = 2 $, a função $ y = 2x + 4 $ está sempre acima de $ y = 2x^{2} $.

Passo 6

Agora, vamos calcular a área entre as curvas usando a integral definida da diferença entre a função de cima e a função de baixo, no intervalo de $ x = -1 $ a $ x = 2 $:
x = -1 Á
Vamos integrar termo a termo.

Passo 7

Integrando cada termo:
integral (-2x^2) dx = -23x^3
integral 2x , dx = x^2
integral 4 , dx = 4x
Então, a integral completa fica:
- 23x^3 + x^2 + 4x |-1^2

Passo 8

Agora, avaliamos a expressão nos limites $ x = 2 $ e $ x = -1 $:
Para $ x = 2 $:
x = 2
Para $ x = -1 $:
x = -1

Passo 9

Subtraindo o valor em $ x = -1 $ do valor em $ x = 2 $:
x = -1

Resposta

A área limitada pelas curvas $ y = 2x^{2} $ e $ 2x - y + 4 = 0 $ é 9 unidades quadradas.

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