Determine a divergência e o rotacional dos seguintes campos de vetores:
F(x, y, z)=(x+y+z, x^2, y z)

Passo 1

O enunciado pede para calcular dois operadores vetoriais do campo F(x,y,z) = (x+y+z,,x^2,,y z): a divergência (que dá a taxa de variação volumétrica líquida) e o rotacional (que mede a tendência de rotação local). Vamos usar derivadas parciais.

Passo 2

Para a divergência usamos a fórmula
nablacdot F = partialpartial x(x+y+z) + partialpartial y(x^2) + partialpartial z(y z)
Calculando as derivadas parciais temos
partialx(x+y+z)=1, partialy(x^2)=0 e partialz(yz)=y. Assim,
nablacdot F = 1 + 0 + y = 1 + y

Passo 3

Para o rotacional usamos a definição em componentes:
nablatimes F = l( partialyF3 - partialzF2, partialzF1 - partialxF3, partialxF2 - partialyF1 r)

Passo 4

Agora basta calcular cada termo:
  • partialyF3 = partialy(yz) = z e partialzF2 = partialz(x^2) = 0 então a 1ª componente é z - 0 = z.
  • partialzF1 = partialz(x+y+z) = 1 e partialxF3 = partialx(yz) = 0 então a 2ª componente é 1 - 0 = 1.
  • partialxF2 = partialx(x^2) = 2x e partialyF1 = partialy(x+y+z) = 1 então a 3ª componente é 2x - 1.
    Portanto

Passo 5

final_answer":"A divergência é \\n$ nablacdot F = 1 + yn\
e o rotacional é \\n$ nablatimes F = (z,,1,,2x - 1)n"} (Note: The JSON string in final_answer should not escape backslashes beyond JSON requirements.) Please remove extra explanation. Sorry for confusion. Let’s produce correct JSON without comments. We’ll inline final_answer properly. Here is the corrected answer:

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