Calcule
pela regra da cadeia e confira os resultados por meio de substituição seguida de aplicação das regras de derivação.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
com as parametrizações
Queremos computar
por dois métodos: (i) usando a regra da cadeia para funções de
e (ii) fazendo substituição direta e depois derivando.
Passo 2
Calculamos primeiro as derivadas parciais de
em relação a
e
. Como
pela regra da cadeia em variáveis, temos
Passo 3
Agora derivamos
e
em relação a
:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para múltiplas variáveis,
Isso dá
Substituindo
e
, o numerador fica
e o denominador é
logo
Passo 5
Pelo método da substituição direta, observe que
então
que é constante, e portanto
confirmando o resultado obtido pela regra da cadeia.