Calcule d zd t pela regra da cadeia e confira os resultados por meio de substituição seguida de aplicação das regras de derivação.
z=ln (x^2+y^2+1) ; x=sen 3 t, y=cos 3 t.

Passo 1

O enunciado dá a função
z = lnl(x^2 + y^2 + 1r),
com as parametrizações
x = sen(3t), y = cos(3t)
Queremos computar dfracdzdt por dois métodos: (i) usando a regra da cadeia para funções de x,y e (ii) fazendo substituição direta e depois derivando.

Passo 2

Calculamos primeiro as derivadas parciais de z em relação a x e y. Como
z = ln!l(ur) com u = x^2 + y^2 + 1,
pela regra da cadeia em variáveis, temos
partial zpartial x = 1u,partial upartial x = 1x^2+y^2+1cdot 2x = 2xx^2+y^2+1,
partial zpartial y = 1u,partial upartial y = 1x^2+y^2+1cdot 2y = 2yx^2+y^2+1

Passo 3

Agora derivamos x e y em relação a t:
dxdt = ddtl[sen(3t)r] = 3cos(3t), dydt = ddtl[cos(3t)r] = -3sen(3t)

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para múltiplas variáveis,
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt = 2xx^2+y^2+1cdot 3cos(3t) + 2yx^2+y^2+1cdotl(-3sen(3t)r)
Isso dá
dzdt = 6xcos(3t) - 6ysen(3t)x^2+y^2+1
Substituindo x=sen(3t) e y=cos(3t), o numerador fica
6sen(3t)cos(3t) ;-; 6cos(3t)sen(3t) = 0,
e o denominador é
sen^2(3t)+cos^2(3t)+1 = 1 + 1 = 2,
logo
dzdt = 02 = 0

Passo 5

Pelo método da substituição direta, observe que
x^2 + y^2 + 1 = sen^2(3t) + cos^2(3t) + 1 = 2,
então
z = ln(2),
que é constante, e portanto
dzdt = 0,
confirmando o resultado obtido pela regra da cadeia.

Resposta

dzdt = 0

Exercícios relacionados