1. (a) Encontre a derivada da função f(x)=x^2x-1, usando a definição.
    (b) Determine uma equação da reta tangente à curva no ponto em que y=4.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função
f(x)=x^2x-1,
(a) Encontrar f'(x) usando a definição de derivada pelo limite
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h,
(b) Achar a equação da reta tangente à curva no ponto em que y=4.

Passo 2

Vamos aplicar a definição. Primeiro calculemos
f(x+h)=(x+h)^2(x+h)-1=x^2+2xh+h^2x+h-1,
Logo o quociente incrementado é
f(x+h)-f(x)h = x^2+2xh+h^2x+h-1-x^2x-1h,

Passo 3

Para simplificar, vamos unir as frações no numerador:
x^2+2xh+h^2x+h-1-x^2x-1 =(x^2+2xh+h^2)(x-1)-x^2(x+h-1)(x+h-1)(x-1)
Expandindo o numerador:
(x^2+2xh+h^2)(x-1)=x^3+2x^2h+xh^2-x^2-2xh-h^2,
x^2(x+h-1)=x^3+x^2h-x^2
Subtraindo-os:
[x^3+2x^2h+xh^2-x^2-2xh-h^2]-[x^3+x^2h-x^2] =hl(x^2+xh-2x-hr)

Passo 4

Voltando ao quociente completo:
f(x+h)-f(x)h =hl(x^2+xh-2x-hr)h,(x+h-1)(x-1) =x^2+xh-2x-h(x+h-1)(x-1)
Fazendo hto0:
f'(x) =limhto0x^2+xh-2x-h(x+h-1)(x-1) =x^2-2x(x-1)^2 =x(x-2)(x-1)^2

Passo 5

Agora a reta tangente no ponto onde y=4. Primeiro achamos x0 tal que
f(x0)=4 Longrightarrow x0^2x0-1=4 Longrightarrow x0^2-4x0+4=0 Longrightarrow (x0-2)^2=0
logo x0=2. O ponto é (2,4).

Passo 6

A inclinação da reta é m=f'(2):
f'(2)=2(2-2)(2-1)^2=0
Então a reta tangente, usando
y - y0=m,(x-x0),
fica
y-4=0,(x-2)Longrightarrow y=4

Resposta

(a) f'(x)=x(x-2)(x-1)^2.
(b) Equação da reta tangente: y=4.

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