Exercício 20. Se as retas de equações (a+3) x+4 y-5=0 e x+a y+1=0 são paralelas, calcule o valor de a.

Passo 1

O enunciado dá duas retas
(a+3)x+4y-5=0
e
x+ay+1=0
e pede o valor de a para que elas sejam paralelas. Para isso, vamos usar a teoria de que duas retas no plano são paralelas se, e somente se, seus coeficientes angulares (pendentes) forem iguais.

Passo 2

Isolando y na primeira reta, temos
4y=-(a+3)x+5
y=-a+34x+54
Logo, o coeficiente angular é
m1=-a+34

Passo 3

Isolando y na segunda reta, obtemos
ay=-x-1
y=-1ax-1a
Logo, o coeficiente angular é
m2=-1a,
com a restrição aneq0.

Passo 4

Para retas paralelas, impomos m1=m2:
-a+34=-1a
Multiplicando por -1 e cruzando,
a+34=1a Longrightarrow a(a+3)=4 Longrightarrow a^2+3a-4=0
A resolução da quadrática
a=-3pmraiz9+162=-3pm52
a=1ou a=-4
Observando que aneq0 e aneq-3, ambos valores são válidos.

Resposta

a=1 ou a=-4

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