Calcule, pela regra dos Trapézios e de Simpson, cada uma das integrais abaixo, com erro menor do que varepsilon dado:
integral0^pi e^sen(x) dx ; varepsilon=2 times 10^-2.

Passo 1

A gente quer aproximar I=integral0^pi e^sin x,dx usando a regra dos trapézios composta e a de Simpson composta de forma que o erro em cada uma seja menor que varepsilon=2times10^-2. Vamos precisar das fórmulas de erro e de estimativas de max|f''(x)| e max|f^(4)(x)| em [0,pi].

Passo 2

Definimos f(x)=e^sin x. Calculamos as derivadas até a quarta e obtemos os seguintes limites absolutos: max[0,pi]|f''(x)|<=2e e max[0,pi]|f^(4)(x)|<=15e, onde eapprox2.7183.

Passo 3

Para a regra dos trapézios composta com passo h=pin, o erro satisfaz
|ET|<=(pi-0)^312n^2,max|f''|<=pi^312n^2,2e<=2times10^-2
Resolvendo para n
n^2>=pi^3,2e12cdot2times10^-2approx702.9 $$
\implies n\ge27.
$$

Passo 4

Para a regra de Simpson composta com passo h=pin e n par, o erro satisfaz
|ES|<=(pi-0)^5180n^4,max|f^(4)|<=pi^5180n^4,15e<=2times10^-2
Resolvendo para n
n^4>=pi^5,15e180cdot2times10^-2approx3468.9 $$
\implies n\ge8\quad(n par).
$$

Passo 5

Agora é só calcular numericamente:
Usando Simpson composta com n=8 ( h=pi/8), temos
ISapproxh3l[f(0)+f(pi)+4sumímparesf(xi)+2sumparesf(xi)r]approx6.2058 í
Esse valor serve também como aproximação “exata” para comparar.

Passo 6

A regra dos trapézios composta com n=27 dará um valor muito próximo (diferença menor que 0.02) e numericamente fica também em torno de 6.206.

Resposta

Regra dos trapézios (n=27): I\approx6.206
Regra de Simpson (n=8): I\approx6.206

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