Calcule, pela regra dos Trapézios e de Simpson, cada uma das integrais abaixo, com erro menor do que
dado:
.
Passo 1
A gente quer aproximar
usando a regra dos trapézios composta e a de Simpson composta de forma que o erro em cada uma seja menor que
. Vamos precisar das fórmulas de erro e de estimativas de
e
em
.
Passo 2
Definimos
. Calculamos as derivadas até a quarta e obtemos os seguintes limites absolutos:
e
, onde
.
Passo 3
Para a regra dos trapézios composta com passo
, o erro satisfaz
Resolvendo para
dá
\implies n\ge27.
$$
Passo 4
Para a regra de Simpson composta com passo
e
par, o erro satisfaz
Resolvendo para
dá
\implies n\ge8\quad(n par).
$$
Passo 5
Agora é só calcular numericamente:
Usando Simpson composta com (
), temos
Usando Simpson composta com
Esse valor serve também como aproximação “exata” para comparar.
Passo 6
A regra dos trapézios composta com
dará um valor muito próximo (diferença menor que 0.02) e numericamente fica também em torno de 6.206.
Resposta
Regra dos trapézios (n=27): I\approx6.206
Regra de Simpson (n=8): I\approx6.206
Regra de Simpson (n=8): I\approx6.206