A temperatura em cada ponto do plano é dada pela função
.
Estando no ponto
em que direção você deve seguir para obter um aumento mais rápido de T? Qual é a derivada direcional nesta direção? Em que direção você deve seguir para que fique frio o mais rápido possível?
Estando no ponto
Passo 1
O enunciado pede para encontrar em que direção, a partir do ponto (1,−1), a função de temperatura T(x,y)=3x²−2xy+y² cresce mais rápido, qual é a derivada direcional nessa direção, e em que direção ela decresce mais rápido. Para achar a direção de crescimento mais rápido e a derivada direcional, a gente vai usar o gradiente de T, pois o gradiente aponta para a direção de aumento máximo da função. A definição do gradiente é dado pelas derivadas parciais:
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
∂T/∂x=6x−2y
∂T/∂y=−2x+2y
Agora avaliamos essas derivadas no ponto (1,−1):
∂T/∂x(1,−1)=6·1−2·(−1)=6+2=8
∂T/∂y(1,−1)=−2·1+2·(−1)=−2−2=−4
Logo o gradiente em (1,−1) é ∇T(1,−1)=⟨8,−4⟩.
∂T/∂x=6x−2y
∂T/∂y=−2x+2y
Agora avaliamos essas derivadas no ponto (1,−1):
∂T/∂x(1,−1)=6·1−2·(−1)=6+2=8
∂T/∂y(1,−1)=−2·1+2·(−1)=−2−2=−4
Logo o gradiente em (1,−1) é ∇T(1,−1)=⟨8,−4⟩.
Passo 3
Para obter a direção unitária de crescimento mais rápido, normalizamos ∇T:
||∇T||=√(8²+(−4)²)=√(64+16)=√80=4√5
Direção unitária = (1/4√5)⟨8,−4⟩=⟨2/√5,−1/√5⟩
A derivada direcional máxima é justamente o módulo do gradiente naquele ponto: 4√5.
||∇T||=√(8²+(−4)²)=√(64+16)=√80=4√5
Direção unitária = (1/4√5)⟨8,−4⟩=⟨2/√5,−1/√5⟩
A derivada direcional máxima é justamente o módulo do gradiente naquele ponto: 4√5.
Passo 4
A direção de queda mais rápida é o oposto da direção de subida, ou seja, ⟨−2/√5,1/√5⟩.
Resposta
A direção de aumento mais rápido em (1,−1) é dado pelo vetor unitário ⟨2/√5,−1/√5⟩, e a derivada direcional máxima nessa direção vale 4√5. Para esfriar o mais rápido possível, siga na direção oposta, ⟨−2/√5,1/√5⟩.