Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
f(x, y, z)=ln (x y)+ln (y z)+ln (x z), P(1,1,1)

Passo 1

Temos a função f(x,y,z)=ln(xy)+ln(yz)+ln(xz) e o ponto P(1,1,1). O que a questão pede é a taxa de variação máxima de f nesse ponto e a direção em que ela ocorre, sabendo que isso está ligado ao gradiente de f.

Passo 2

Para achar o gradiente, observe que ln(xy)+ln(yz)+ln(xz)=2(ln x+ln y+ln z). Assim as derivadas parciais são
partial fpartial x=2x, partial fpartial y=2y, partial fpartial z=2z
que formam o vetor gradiente.

Passo 3

Avaliando o gradiente em P(1,1,1) temos
nabla f(1,1,1)=l(2,2,2r)

Passo 4

A taxa de variação máxima é o módulo do gradiente nesse ponto, ou seja
|nabla f(1,1,1)|=raiz2^2+2^2+2^2=raiz12=2raiz3

Passo 5

A direção em que isso ocorre é a do próprio gradiente, mais precisamente seu vetor unitário:
nabla f(1,1,1)|nabla f(1,1,1)|=l(tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r)

Resposta

A taxa de variação máxima é 2\sqrt{3} na direção (1/\sqrt{3},1/\sqrt{3},1/\sqrt{3}).

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