Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Passo 1
Temos a função f(x,y,z)=ln(xy)+ln(yz)+ln(xz) e o ponto P(1,1,1). O que a questão pede é a taxa de variação máxima de f nesse ponto e a direção em que ela ocorre, sabendo que isso está ligado ao gradiente de f.
Passo 2
Para achar o gradiente, observe que ln(xy)+ln(yz)+ln(xz)=2(ln x+ln y+ln z). Assim as derivadas parciais são
que formam o vetor gradiente.
Passo 3
Avaliando o gradiente em P(1,1,1) temos
Passo 4
A taxa de variação máxima é o módulo do gradiente nesse ponto, ou seja
Passo 5
A direção em que isso ocorre é a do próprio gradiente, mais precisamente seu vetor unitário:
Resposta
A taxa de variação máxima é 2\sqrt{3} na direção (1/\sqrt{3},1/\sqrt{3},1/\sqrt{3}).