A temperatura em cada ponto do plano é dada pela função T(x, y)=3 x^2-2 x y+y^2.
Determine o gradiente de T(x, y).

Passo 1

O enunciado nos dá a função de temperatura T(x,y)=3x^2-2xy+y^2; o conteúdo é cálculo de gradiente e vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar o vetor gradiente.

Passo 2

O gradiente de uma função escalar T(x,y) é definido como nabla T=(partial Tpartial x,partial Tpartial y), ou seja, o vetor formado pelas derivadas parciais de T.

Passo 3

Para calcular partial Tpartial x, tratamos y como constante e derivamos cada termo: a derivada de 3x^2 em relação a x é 6x; de -2xy em relação a x é -2y; de y^2 é 0. Portanto, partial Tpartial x=6x-2y.

Passo 4

Para calcular partial Tpartial y, tratamos x como constante: a derivada de 3x^2 é 0; de -2xy é -2x; de y^2 é 2y. Logo, partial Tpartial y=-2x+2y.

Resposta

nabla T(x,y)=(6x-2y,,-2x+2y)

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