Calcule a relação minima entre os raios
para os números de coordenação 3 e 4 .
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a relação mínima entre os raios
para os casos de número de coordenação 3 e número de coordenação 4.
Informações e hipóteses relevantes:
-
é o raio das esferas que formam a “rede” (anions, por exemplo) e é o raio da esfera menor que fica no cavidade (cation). - A configuração de coordenação
significa que a esfera menor toca três esferas iguais dispostas ao seu redor; coordenação significa que ela toca quatro esferas. - Para obter a razão mínima
assume-se que as esferas que cercam a cavidade estão o mais próximas possível entre si (ou seja, as esferas de raio estão em contato, com distância entre centros igual a ). Essa é a condição que dá a menor cavidade possível compatível com o número de coordenação pedido.
Passo 2
Explicação do método geométrico que será usado (sem ainda calcular):
- Colocar os centros das esferas de raio
nos vértices de uma figura regular correspondente ao número de coordenação: - para coordenação
: vértices de um triângulo equilátero de aresta ; - para coordenação
: vértices de um tetraedro regular de aresta .
- para coordenação
- O centro da cavidade (onde fica a esfera de raio
) é o centro dessa figura regular (circuncentro / centroide, que coincide com o centro simétrico). - A distância do centro da cavidade até um vértice é a soma
. Logo - Assim basta calcular a distância do centro da figura regular até um vértice quando a aresta vale
.
Passo 3
Caso coordenação
(três esferas formando um triângulo equilátero).
- Geometria do triângulo equilátero de aresta
: a altura é
O centro (circuncentro/centroide) fica a uma distância de
do vértice (ou, equivalentemente, a distância do centro até o vértice — o raio circunscrito — é)
- Aqui a aresta é
. Portanto a distância do centro até um vértice é
- Usando
distância, obtemos
- Dividindo por
para ter a razão mínima:
- Valor numérico aproximado:
Passo 4
Caso coordenação
(quatro esferas formando um tetraedro regular).
- Geometria do tetraedro regular de aresta
. Colocando três vértices na base formando um triângulo equilátero de lado cujo circuncentro está na origem do plano , o vértice superior está em com tal que a distância desse vértice superior a qualquer vértice da base seja . Assim
onde
é a distância do circuncentro da base a um vértice da base. Da equação acima segue
- O centro geométrico (baricentro) do tetraedro está no ponto com coordenada
(média das quatro alturas), logo a distância do centro até o vértice superior é
Mas é mais direto calcular o raio circunscrito
(distância do centro até qualquer vértice) pela soma quadrática:
Substituindo
obtemos
Portanto
(Essa é a fórmula clássica: o raio circunscrito de um tetraedro regular de aresta
é
.)
- Para a nossa configuração
. Assim
- Usando
distância,
Dividindo por
:
- Valor numérico aproximado:
Passo 5
Resumo interpretativo rápido (ânimo!): para o menor cation possível que ainda fica em contato com 3 vizinhas (triangular) a razão mínima é cerca de
; para 4 vizinhas (tetraédrico) a razão mínima é maior, cerca de
. Ou seja, para coordenar mais vizinhos o cation precisa ser relativamente maior em relação ao anion.