Calcule a relação minima entre os raios \frac{r}{R} para os números de coordenação 3 e 4 .

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a relação mínima entre os raios \dfrac{r}{R} para os casos de número de coordenação 3 e número de coordenação 4.
Informações e hipóteses relevantes:
  • R é o raio das esferas que formam a “rede” (anions, por exemplo) e r é o raio da esfera menor que fica no cavidade (cation).
  • A configuração de coordenação 3 significa que a esfera menor toca três esferas iguais dispostas ao seu redor; coordenação 4 significa que ela toca quatro esferas.
  • Para obter a razão mínima \dfrac{r}{R} assume-se que as esferas que cercam a cavidade estão o mais próximas possível entre si (ou seja, as esferas de raio R estão em contato, com distância entre centros igual a 2R). Essa é a condição que dá a menor cavidade possível compatível com o número de coordenação pedido.

Passo 2

Explicação do método geométrico que será usado (sem ainda calcular):
  • Colocar os centros das esferas de raio R nos vértices de uma figura regular correspondente ao número de coordenação:
    • para coordenação 3: vértices de um triângulo equilátero de aresta 2R;
    • para coordenação 4: vértices de um tetraedro regular de aresta 2R.
  • O centro da cavidade (onde fica a esfera de raio r) é o centro dessa figura regular (circuncentro / centroide, que coincide com o centro simétrico).
  • A distância do centro da cavidade até um vértice é a soma R + r. Logo r = (\text{distância do centro ao vértice}) - R.âé
  • Assim basta calcular a distância do centro da figura regular até um vértice quando a aresta vale 2R.

Passo 3

Caso coordenação 3 (três esferas formando um triângulo equilátero).
  1. Geometria do triângulo equilátero de aresta a: a altura é
h=\frac{\sqrt{3}}{2}\,a.
O centro (circuncentro/centroide) fica a uma distância de \tfrac{2}{3}h do vértice (ou, equivalentemente, a distância do centro até o vértice — o raio circunscrito — é)
R_{\text{circ}}=\frac{a}{\sqrt{3}}.
  1. Aqui a aresta é a=2R. Portanto a distância do centro até um vértice é
\text{distância}=\frac{2R}{\sqrt{3}}.â
  1. Usando R+r= distância, obtemos
r=\frac{2R}{\sqrt{3}}-R.
  1. Dividindo por R para ter a razão mínima:
\frac{r}{R}=\frac{2}{\sqrt{3}}-1.
  1. Valor numérico aproximado:
\frac{r}{R}=\frac{2}{\sqrt{3}}-1\approx 0{,}1547.

Passo 4

Caso coordenação 4 (quatro esferas formando um tetraedro regular).
  1. Geometria do tetraedro regular de aresta a. Colocando três vértices na base formando um triângulo equilátero de lado a cujo circuncentro está na origem do plano z=0, o vértice superior está em z=H com H tal que a distância desse vértice superior a qualquer vértice da base seja a. Assim
\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2}+H^{2}=a^{2}
onde \dfrac{a}{\sqrt{3}} é a distância do circuncentro da base a um vértice da base. Da equação acima segue
H^{2}=a^{2}-\frac{a^{2}}{3}=\frac{2}{3}a^{2}, \qquad H=a\sqrt{\frac{2}{3}}.
  1. O centro geométrico (baricentro) do tetraedro está no ponto com coordenada z=\dfrac{H}{4} (média das quatro alturas), logo a distância do centro até o vértice superior é
\text{distância} = H-\frac{H}{4}=\frac{3H}{4}.â
Mas é mais direto calcular o raio circunscrito R_{\text{circ}} (distância do centro até qualquer vértice) pela soma quadrática:
R_{\text{circ}}^{2}=\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2}+\left(\frac{H}{4}\right)^{2}.
Substituindo H^{2}=\dfrac{2}{3}a^{2} obtemos
R_{\text{circ}}^{2}=\frac{a^{2}}{3}+\frac{1}{16}\cdot\frac{2}{3}a^{2} = a^{2}\!\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{24}\right) = a^{2}\cdot\frac{9}{24}=a^{2}\cdot\frac{3}{8}.
Portanto
R_{\text{circ}}=a\sqrt{\frac{3}{8}}=\frac{a\sqrt{6}}{4}.
(Essa é a fórmula clássica: o raio circunscrito de um tetraedro regular de aresta a é \dfrac{a\sqrt{6}}{4}.)
  1. Para a nossa configuração a=2R. Assim
\text{distância do centro a um vértice}= \frac{2R\sqrt{6}}{4}=R\frac{\sqrt{6}}{2}.âé
  1. Usando R+r= distância,
r=R\frac{\sqrt{6}}{2}-R.
Dividindo por R:
\frac{r}{R}=\frac{\sqrt{6}}{2}-1.
  1. Valor numérico aproximado:
\frac{r}{R}=\frac{\sqrt{6}}{2}-1\approx 0{,}2247.

Passo 5

Resumo interpretativo rápido (ânimo!): para o menor cation possível que ainda fica em contato com 3 vizinhas (triangular) a razão mínima é cerca de 0{,}155; para 4 vizinhas (tetraédrico) a razão mínima é maior, cerca de 0{,}225. Ou seja, para coordenar mais vizinhos o cation precisa ser relativamente maior em relação ao anion.

Resposta

\displaystyle \text{CN}=3:\quad \frac{r}{R}=\frac{2}{\sqrt{3}}-1\approx 0{,}1547\n
\displaystyle \text{CN}=4:\quad \frac{r}{R}=\frac{\sqrt{6}}{2}-1\approx 0{,}2247

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