Considerando que os elementos quimicos Cr e V formam ligas de soluções sólidas completas na temperatura ambiente com estrutura tipo CCC e baseandose numa composição onde os átomos de Cr ocupam os vértices e o átomo de V ocupa o centro da célula unitária, calcular:
a. O parâmetro de rede da célula unitária
b. O fator de empacotamento da célula unitária
c. A densidade da liga (massa específica).
Dados: Massas atômicas:
; Raios atômicos:
.
a. O parâmetro de rede da célula unitária
b. O fator de empacotamento da célula unitária
c. A densidade da liga (massa específica).
Passo 1
O enunciado pede três coisas considerando uma célula unitária cúbica de corpo centrado (CCC) onde os átomos de Cr ocupam os vértices e o átomo de V ocupa o centro da célula unitária:
- (a) o parâmetro de rede da célula unitária
; - (b) o fator de empacotamento da célula unitária (atomic packing factor, APF);
- (c) a densidade da liga (massa específica)
.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
- Massas atômicas:
, . - Raios atômicos:
, .
Observação importante sobre a célula: os vértices contribuem com fração
por célula e o átomo no centro contribui com 1 átomo inteiro por célula. A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Contagem de átomos por célula unitária (passo essencial para APF e densidade).
- Em uma cúbica de corpo centrado (CCC) há 8 átomos nos vértices, cada um com contribuição
da célula, totalizando
- Há 1 átomo no centro da célula (V), que conta inteiro:
Portanto o número total de átomos por célula é
(um átomo de Cr e um átomo de V).
Passo 3
Cálculo do parâmetro de rede
usando a geometria da CCC.
- Geometria útil: a diagonal espacial (diagonal do cubo) tem comprimento
. O centro da célula está no meio dessa diagonal, então a distância do centro de um vértice até o centro da célula é metade da diagonal:
- Como o átomo no vértice (Cr) e o átomo no centro (V) estão em contato ao longo dessa direção, a distância entre os centros desses átomos vale a soma dos raios:
- Isolando
:
- Substituindo os valores dados (todos em
):
- Cálculo numérico:
Para referência, isso é
(já que
).
Passo 4
Cálculo do fator de empacotamento (APF).
- Definição: o APF é a fração do volume da célula unitária ocupada pelos volumes dos átomos (modelados como esferas):
- Volume de uma esfera:
. - Aqui há um átomo de Cr e um átomo de V por célula, então
- Vamos calcular numericamente. Primeiro os volumes das esferas (em
):
- Soma dos volumes:
- Volume da célula:
- APF numérico:
Observação: para uma CCC com átomos idênticos o valor padrão do APF é
. Aqui, com raios levemente diferentes, chegamos praticamente ao mesmo valor:
(ou
).
Passo 5
Cálculo da densidade
.
- Fórmula básica:
. - Massa por célula: soma das massas dos átomos na célula. Usando massas molares e a constante de Avogadro
,
- Substituindo:
- Volume da célula em
: convertendo para cm ( ),
- Densidade:
Se preferir em unidades SI:
.
Pequeno incentivo: deu trabalho, mas seguiu a geometria da CCC passo a passo — tá certinho. Vamos às respostas finais.
Resposta
(a)
(b) (ou
)
(c)
(b)
(c)