Considerando que os elementos quimicos Cr e V formam ligas de soluções sólidas completas na temperatura ambiente com estrutura tipo CCC e baseandose numa composição onde os átomos de Cr ocupam os vértices e o átomo de V ocupa o centro da célula unitária, calcular:
a. O parâmetro de rede da célula unitária
b. O fator de empacotamento da célula unitária
c. A densidade da liga (massa específica).
Dados: Massas atômicas: \mathrm{Mc}_{"c}=52,0 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} ; \mathrm{Mv}=50,94 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}; Raios atômicos: \mathrm{R}_{\mathrm{Cr}}=0,13 \mathrm{~nm} ; \mathrm{R}_{\mathrm{V}}=0,134 \mathrm{~nm}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas considerando uma célula unitária cúbica de corpo centrado (CCC) onde os átomos de Cr ocupam os vértices e o átomo de V ocupa o centro da célula unitária:
  • (a) o parâmetro de rede da célula unitária a;
  • (b) o fator de empacotamento da célula unitária (atomic packing factor, APF);
  • (c) a densidade da liga (massa específica) \rho.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • Massas atômicas: M_{\mathrm{Cr}}=52{,}0\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}, M_{\mathrm{V}}=50{,}94\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
  • Raios atômicos: R_{\mathrm{Cr}}=0{,}13\\ \mathrm{nm}, R_{\mathrm{V}}=0{,}134\\ \mathrm{nm}.
Observação importante sobre a célula: os vértices contribuem com fração 1/8 por célula e o átomo no centro contribui com 1 átomo inteiro por célula. A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Contagem de átomos por célula unitária (passo essencial para APF e densidade).
  • Em uma cúbica de corpo centrado (CCC) há 8 átomos nos vértices, cada um com contribuição 1/8 da célula, totalizando
8\times\frac{1}{8}=1\\ \text{átomo de Cr por célula}.áé
  • Há 1 átomo no centro da célula (V), que conta inteiro:
1\\ \text{átomo de V por célula}.áé
Portanto o número total de átomos por célula é 1+1=2 (um átomo de Cr e um átomo de V).

Passo 3

Cálculo do parâmetro de rede a usando a geometria da CCC.
  • Geometria útil: a diagonal espacial (diagonal do cubo) tem comprimento \sqrt{3}\,a. O centro da célula está no meio dessa diagonal, então a distância do centro de um vértice até o centro da célula é metade da diagonal:
\text{distância vértice-centro}=\frac{\sqrt{3}\,a}{2}.âé
  • Como o átomo no vértice (Cr) e o átomo no centro (V) estão em contato ao longo dessa direção, a distância entre os centros desses átomos vale a soma dos raios:
\frac{\sqrt{3}\,a}{2}=R_{\mathrm{Cr}}+R_{\mathrm{V}}.
  • Isolando a:
a=\frac{2\,(R_{\mathrm{Cr}}+R_{\mathrm{V}})}{\sqrt{3}}.
  • Substituindo os valores dados (todos em \mathrm{nm}):
a=\frac{2\,(0{,}13+0{,}134)}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{nm}=\frac{2\cdot 0{,}264}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{nm}.
  • Cálculo numérico:
a=\frac{0{,}528}{1{,}7320508}\\ \mathrm{nm}\approx 0{,}3049\\ \mathrm{nm}.
Para referência, isso é a\approx 3{,}049\\ \text{\AA} (já que 1\\ \text{\AA}=0{,}1\\ \mathrm{nm}).

Passo 4

Cálculo do fator de empacotamento (APF).
  • Definição: o APF é a fração do volume da célula unitária ocupada pelos volumes dos átomos (modelados como esferas):
\mathrm{APF}=\frac{\text{volume total dos átomos na célula}}{\text{volume da célula}}.áéé
  • Volume de uma esfera: \displaystyle V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi R^{3}.
  • Aqui há um átomo de Cr e um átomo de V por célula, então
\mathrm{APF}=\frac{\dfrac{4}{3}\pi R_{\mathrm{Cr}}^{3}+\dfrac{4}{3}\pi R_{\mathrm{V}}^{3}}{a^{3}} =\frac{\tfrac{4}{3}\pi\left(R_{\mathrm{Cr}}^{3}+R_{\mathrm{V}}^{3}\right)}{a^{3}}.
  • Vamos calcular numericamente. Primeiro os volumes das esferas (em \mathrm{nm^{3}}):
V_{\mathrm{Cr}}=\frac{4}{3}\pi(0{,}13)^{3}\\ \mathrm{nm^{3}}\approx 0{,}009206\\ \mathrm{nm^{3}},
V_{\mathrm{V}}=\frac{4}{3}\pi(0{,}134)^{3}\\ \mathrm{nm^{3}}\approx 0{,}010086\\ \mathrm{nm^{3}}.
  • Soma dos volumes:
V_{\mathrm{tot}}=V_{\mathrm{Cr}}+V_{\mathrm{V}}\approx 0{,}019292\\ \mathrm{nm^{3}}.
  • Volume da célula:
a^{3}=(0{,}304896\\ \mathrm{nm})^{3}\approx 0{,}028365\\ \mathrm{nm^{3}}.
  • APF numérico:
\mathrm{APF}=\frac{0{,}019292}{0{,}028365}\approx 0{,}680.
Observação: para uma CCC com átomos idênticos o valor padrão do APF é \approx 0{,}68. Aqui, com raios levemente diferentes, chegamos praticamente ao mesmo valor: \mathrm{APF}\approx 0{,}680 (ou 68{,}0\%).

Passo 5

Cálculo da densidade \rho.
  • Fórmula básica: \displaystyle \rho=\frac{\text{massa por célula}}{\text{volume da célula}}éé.
  • Massa por célula: soma das massas dos átomos na célula. Usando massas molares e a constante de Avogadro N_{A}=6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}},
m_{\text{célula}}=\frac{M_{\mathrm{Cr}}+M_{\mathrm{V}}}{N_{A}}\\ \text{(em g)}.é
  • Substituindo:
m_{\text{célula}}=\frac{52{,}0+50{,}94}{6{,}022\times10^{23}}\\ \mathrm{g} =\frac{102{,}94}{6{,}022\times10^{23}}\\ \mathrm{g}\approx 1{,}7095\times10^{-22}\\ \mathrm{g}.é
  • Volume da célula em \mathrm{cm^{3}}: convertendo a=0{,}304896\\ \mathrm{nm} para cm ( 1\\ \mathrm{nm}=1\times10^{-7}\\ \mathrm{cm} ),
a=0{,}304896\times10^{-7}\\ \mathrm{cm}=3{,}04896\times10^{-8}\\ \mathrm{cm},
V_{\text{célula}}=a^{3}\approx (3{,}04896\times10^{-8})^{3}\\ \mathrm{cm^{3}}\approx 2{,}8365\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}.é
  • Densidade:
\rho=\frac{1{,}7095\times10^{-22}\\ \mathrm{g}}{2{,}8365\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}}\approx 6{,}03\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}.
Se preferir em unidades SI: \rho\approx 6030\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}}.
Pequeno incentivo: deu trabalho, mas seguiu a geometria da CCC passo a passo — tá certinho. Vamos às respostas finais.

Resposta

(a) a=0{,}305\\ \mathrm{nm}
(b) \mathrm{APF}=0{,}680 (ou 68{,}0\%)
(c) \rho=6{,}03\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}

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