Considere uma carga em repouso num sistema S^prime onde existe um campo elétrico E^prime. Sabendo que S^prime se move com velocidade v=v x com relação ao sistema S, use a lei de transformação de forças e dos campos para encontrar as forças que agem na carga em S. Compare este resultado com a força de Lorentz.

Passo 1

O enunciado diz que numa barra de referência S' a carga está em repouso e só “sente” a força
F' = q,E'
O sistema S' desloca-se em relação a S com velocidade v=v,x.
Conteúdo: transformação relativística de campos E,B e de forças F.

Passo 2

Escrevemos as regras de transformação de campos de S' para S. Decompomos qualquer vetor em componentes paralelas ( paral<=l) e perpendiculares ( perp) a v. Como B'=0, temos
Eparal<=l = E'paral<=l, Eperp = gamma,E'perp,
Bparal<=l = 0, Bperp = -,gamma,vc^2times E'

Passo 3

Em S o vetor-velocidade da carga é u=v. A força de Lorentz em S é
F = ql(E + utimesBr) = ql(E+ vtimesBr)
Substituindo E=(Eparal<=l+Eperp) e B acima:
F = ql(E'paral<=l,x +gamma,E'perp r) +q,vtimesl(-gamma,tfracvc^2timesE'r)

Passo 4

Vamos checar componentes:
  1. Paralela a v: vtimes(cdots) não contribui, logo
Fparal<=l = q,E'paral<=l
  1. Perpendicular a v: o produto triplo dá
    vtimes(vtimesE')=v(vcdotE')-E',v^2.
    A parte perpendicular fica
q,Eperp +q,l[vtimesBr]perp = q,gamma,E'perp +q,l(gamma,tfracv^2c^2,E'perpr) = gamma,q,E'perp,l(1+tfracv^2c^2r)
Mas como gamma(1+v^2/c^2)=gamma^3(1-v^2/c^2)=gamma, concluímos
Fperp=gamma,q,E'perp

Passo 5

Agora a transformação de força direta (a partir de F'=q,E') diz que
Fparal<=l=F'paral<=l=q,E'paral<=l, Fperp=gamma,F'perp=gamma,q,E'perp,
exatamente o que achamos com a força de Lorentz.

Resposta

Em S a carga sofre
F = ql(E + vtimesBr),
com
;Eparal<=l=E'paral<=l,;Eperp=gamma E'perp,;B=-gamma(c^-2,vtimesE'),
o que coincide com a forma canônica da força de Lorentz.

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