Calcule os resíduos das funções abaixo para os polos
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o resíduo da função
no ponto
.
Informações dadas e observações imediatas:
- A função é
. - O ponto onde queremos o resíduo é
. - Sabemos os valores trigonométricos:
e . - O resíduo em
é o coeficiente do termo na série de Laurent de centrada em .
Passo 2
Entender o tipo de singularidade e o que é o resíduo (mini-aula rápida e concreta).
O que é resíduo: para uma função meromorfa, o resíduo em
é o coeficiente
da expansão de Laurent
ou seja, é o termo que multiplica
. Na prática existem formas usuais de obter esse coeficiente sem expandir tudo.
Tipos de singularidade relevantes aqui:
- Se
tem um pólo simples (ordem 1) em , então
- Se for pólo de ordem
, existe uma fórmula com derivadas:
Antes de aplicar qualquer fórmula, é preciso saber a ordem efetiva do pólo de
em
. Para isso avaliamos o comportamento de
em torno de
.
Passo 3
Expansão de
em torno de
(Taylor centered em
) e determinação da ordem do zero de
em
.
Escreva
. Então
Expandindo
em série de Taylor em
:
Portanto
Isto mostra que
tem um zero simples em
(ou seja, zero de ordem
):
.
Como o denominador é
, ao dividir pela denominação obtemos comportamento
Logo a singularidade em
é um pólo simples (ordem efetiva
), e o termo
tem coeficiente
.
Passo 4
Cálculo do resíduo usando a fórmula para pólo simples (aplicando a definição como limite).
Para pólo simples em
,
Esse limite pode ser obtido pela expansão que fizemos: como
,
Alternativamente, poderia-se aplicar L’Hôpital à
: derivando numerador e denominador obtém-se
, mesmo resultado.