Calcule os resíduos das funções abaixo para os polos z_{0}.
f(z)=\frac{\operatorname{sen} z}{(z-\pi)^{2}}, \quad z_{0}=\pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular o resíduo da função f(z)=\dfrac{\sin z}{(z-\pi)^{2}} no ponto z_{0}=\pi.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função é f(z)=\dfrac{\sin z}{(z-\pi)^{2}}.
  • O ponto onde queremos o resíduo é z_{0}=\pi.
  • Sabemos os valores trigonométricos: \sin\pi=0 e \cos\pi=-1.
  • O resíduo em z_{0} é o coeficiente do termo (z-\pi)^{-1} na série de Laurent de f centrada em z=\pi.

Passo 2

Entender o tipo de singularidade e o que é o resíduo (mini-aula rápida e concreta).
O que é resíduo: para uma função meromorfa, o resíduo em z_{0} é o coeficiente a_{-1} da expansão de Laurent
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-\pi)^n
ou seja, é o termo que multiplica (z-\pi)^{-1}. Na prática existem formas usuais de obter esse coeficiente sem expandir tudo.
Tipos de singularidade relevantes aqui:
  • Se f tem um pólo simples (ordem 1) em z_0, então
\operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z).
  • Se for pólo de ordem m>1, existe uma fórmula com derivadas:
\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{\,m-1}}{dz^{\,m-1}}\Big[(z-z_0)^m f(z)\Big].
Antes de aplicar qualquer fórmula, é preciso saber a ordem efetiva do pólo de f em z=\pi. Para isso avaliamos o comportamento de \sin z em torno de z=\pi.

Passo 3

Expansão de \sin z em torno de z=\pi (Taylor centered em \pi) e determinação da ordem do zero de \sin z em \pi.
Escreva w=z-\pi. Então
\sin z=\sin(\pi+w)=\sin\pi\cos w+\cos\pi\sin w = 0\cdot\cos w + (-1)\sin w = -\sin w.
Expandindo \sin w em série de Taylor em w=0:
\sin w = w - \frac{w^{3}}{3!} + \frac{w^{5}}{5!}-\cdots.
Portanto
\sin z = -\sin w = -\Big(w - \frac{w^{3}}{6} + \cdots\Big) = -w + \frac{w^{3}}{6} + \cdots.
Isto mostra que \sin z tem um zero simples em z=\pi (ou seja, zero de ordem 1): \sin z = -(z-\pi)+O\big((z-\pi)^{3}\big).
Como o denominador é (z-\pi)^{2}, ao dividir pela denominação obtemos comportamento
f(z)=\frac{\sin z}{(z-\pi)^{2}}=\frac{- (z-\pi) + O\big((z-\pi)^{3}\big)}{(z-\pi)^{2}} = -\frac{1}{z-\pi} + O(z-\pi).
Logo a singularidade em z=\pi é um pólo simples (ordem efetiva 1), e o termo (z-\pi)^{-1} tem coeficiente -1.

Passo 4

Cálculo do resíduo usando a fórmula para pólo simples (aplicando a definição como limite).
Para pólo simples em z_{0}=\pi,
\operatorname{Res}\big(f,\pi\big)=\lim_{z\to\pi} (z-\pi)\frac{\sin z}{(z-\pi)^{2}}=\lim_{z\to\pi}\frac{\sin z}{z-\pi}.
Esse limite pode ser obtido pela expansão que fizemos: como \sin z = -(z-\pi)+O\big((z-\pi)^{3}\big),
\lim_{z\to\pi}\frac{\sin z}{z-\pi} = \lim_{z\to\pi}\frac{-(z-\pi)+O\big((z-\pi)^{3}\big)}{z-\pi} = -1.
Alternativamente, poderia-se aplicar L’Hôpital à \lim_{z\to\pi}\dfrac{\sin z}{z-\pi}: derivando numerador e denominador obtém-se \lim_{z\to\pi}\dfrac{\cos z}{1}=\cos\pi=-1, mesmo resultado.

Resposta

-1

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