Calcule a resposta ao impulso de um sistema de tempo discreto casual de primeira ordem, dado pela sequinte expressão
x[n]=[(12)^n+2^n] u[n+1]
Indique os zeros e polos;

Passo 1

Estamos com um sistema discreto causal de primeira ordem cuja resposta ao impulso h[n] é dada por x[n]=l((tfrac12)^n+2^nr)u[n+1]. Nosso objetivo é obter a transformada Z H(z) de h[n] e, a partir dela, identificar polos e zeros. Vamos usar a propriedade da série geométrica sumn=0^infty a^n z^-n=1/(1 - a z^-1) válida para |a z^-1|<1.

Passo 2

Para facilitar, escrevemos
H(z)=sumn=-1^infty l(tfrac12r)^n z^-n+sumn=-1^infty 2^n z^-n
Em cada soma, separamos o termo n=-1 e a soma de n=0 até infty.

Passo 3

Para H1(z)=sumn=-1^infty(tfrac12)^n z^-n, o termo n=-1 é (tfrac12)^-1z=2z. A soma de n=0 a infty é
sumn=0^inftyl(tfrac12r)^n z^-n=11-tfrac12 z^-1=zz-tfrac12
Logo
H1(z)=2z+zz-tfrac12=2z^2z-tfrac12

Passo 4

Para H2(z)=sumn=-1^infty2^n z^-n, o termo n=-1 é 2^-1z=tfrac12z e a soma de n=0 a infty é
sumn=0^infty2^n z^-n=11-2z^-1=zz-2
Logo
H2(z)=12z+zz-2=tfrac12z^2z-2

Passo 5

Somando H1(z) e H2(z) sobre o mesmo denominador, obtemos
H(z)=2z^2z-tfrac12+tfrac12z^2z-2 = 2z^2(z-2)+tfrac12z^2(z-tfrac12)(z-tfrac12)(z-2) = tfrac52z^3-tfrac174z^2(z-tfrac12)(z-2)

Passo 6

No numerador fatoramos z^2:
tfrac52z^3-tfrac174z^2 = z^2l(tfrac52z-tfrac174r)
Dessa forma surgem zeros em z=0 (multiplicidade 2) e em z=17/10. O denominador já está fatorado e dá polos em z=tfrac12 e z=2.

Resposta

Zeros: z=0 (multiplicidade 2) e z=17/10; Polos: z=1/2 e z=2.

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