Considere o sinal x[n]=(0,9)^n u[n],|alpha|< 1 (Equação da Síntese). Calcule a Equação da Análise na Transformada de Fourier de Tempo Discreto (DTFT).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a Transformada de Fourier de Tempo Discreto (DTFT) de x[n]=(0.9)^n u[n]. O conteúdo aqui é a DTFT, e vamos usar a Equação da Análise, que define X(e^jomega) em função de x[n].

Passo 2

Partindo da definição da DTFT:
X(e^jomega) = sumn=-infty^infty x[n],e^-jomega n
Como x[n]=(0.9)^n u[n], só temos termos para n>=0. Então
X(e^jomega) = sumn=0^infty (0.9)^n e^-jomega n = sumn=0^infty l(0.9,e^-jomegar)^n

Passo 3

Reconhecemos uma série geométrica de razão r = 0.9,e^-jomega. Pela fórmula
sumn=0^infty r^n = 11 - r, lvert rrvert < 1,
e aqui |r|=0.9<1, logo converge. Portanto
X(e^jomega) = 11 - 0.9,e^-jomega

Resposta

X(e^jomega) = 11 - 0.9,e^-jomega

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