Calcule a resposta total quando a entrada é x(t)=e^-3 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a resposta total quando a entrada é . Isso está relacionado ao estudo de sistemas lineares e invariantes no tempo (SLIT), onde a resposta de um sistema a uma determinada entrada é analisada. Para resolver isso, vamos precisar entender como os sistemas respondem a entradas exponenciais e usar conceitos de transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em sistemas SLIT, quando a entrada é uma função exponencial da forma , a resposta do sistema também será uma função exponencial. A transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para analisar esse tipo de sistema porque transforma equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver.

Passo 3

Vamos aplicar a transformada de Laplace na entrada Lx(t) = Le^-3t = 1s + 3 . A transformada de Laplace de é . Portanto:

Passo 4

Agora, precisamos considerar a função de transferência do sistema, Ly(t) = H(s) cdot Lx(t) = H(s) cdot 1s + 3 . A resposta total do sistema na transformada de Laplace é o produto da transformada da entrada pela função de transferência:

Passo 5

Para encontrar a resposta no domínio do tempo, aplicamos a transformada inversa de Laplace. Isso nos dará y(t) = L^-1H(s) cdot 1s + 3 , a resposta total do sistema:

Resposta

A resposta total do sistema quando a entrada é é .

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