Considere a resposta à uma entrada senoide:
Y(s)=s+1(s^2+25)^2
Assinale a alternativa verdadeira:
A) A resposta é marginalmente estável.
B) A resposta é assintoticamente instável.
C) A resposta é assintoticamente estável.
D) O sistema oscila constantemente com frequência omega=5 rad / s
E) O sistema oscila constantemente com frequência omega=25 rad / s

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma função de resposta a uma entrada senoide dada por:
Y(s) = s + 1(s^2 + 25)^2
O conteúdo envolvido aqui é análise de estabilidade em sistemas de controle. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como identificar a estabilidade de um sistema a partir dos seus polos, que são os valores de que tornam o denominador da função igual a zero.

Passo 2

Vamos encontrar os polos do sistema resolvendo o denominador igual a zero:
(s^2 + 25)^2 = 0
Isso implica que:
s^2 + 25 = 0 s^2 = -25 s = pm j5
Então, os polos são e , cada um com multiplicidade 2 (porque o termo está ao quadrado).

Passo 3

Agora, precisamos analisar onde esses polos estão localizados no plano . Os polos estão puramente na parte imaginária ( ) e não têm parte real.
Em termos de estabilidade:
  • Sistema estável: Todos os polos têm parte real negativa.
  • Sistema marginalmente estável: Polos estão no eixo imaginário com multiplicidade 1.
  • Sistema instável: Polos no eixo imaginário com multiplicidade maior que 1 ou com parte real positiva.

Passo 4

No nosso caso, os polos estão no eixo imaginário ( ) e cada um tem multiplicidade 2. Isso significa que o sistema não é apenas marginalmente estável, mas na verdade assintoticamente instável, porque a multiplicidade maior que 1 nos polos no eixo imaginário faz com que a resposta do sistema cresça com o tempo.

Resposta

B) A resposta é assintoticamente instável.

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