Considere a resposta à uma entrada senoide:
Assinale a alternativa verdadeira:
A) A resposta é marginalmente estável.
B) A resposta é assintoticamente instável.
C) A resposta é assintoticamente estável.
D) O sistema oscila constantemente com frequência
E) O sistema oscila constantemente com frequência
A) A resposta é marginalmente estável.
B) A resposta é assintoticamente instável.
C) A resposta é assintoticamente estável.
D) O sistema oscila constantemente com frequência
E) O sistema oscila constantemente com frequência
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma função de resposta a uma entrada senoide dada por:
O conteúdo envolvido aqui é análise de estabilidade em sistemas de controle. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como identificar a estabilidade de um sistema a partir dos seus polos, que são os valores de
que tornam o denominador da função igual a zero.
Passo 2
Vamos encontrar os polos do sistema resolvendo o denominador igual a zero:
Isso implica que:
Então, os polos são
e
, cada um com multiplicidade 2 (porque o termo está ao quadrado).
Passo 3
Agora, precisamos analisar onde esses polos estão localizados no plano
. Os polos estão puramente na parte imaginária (
) e não têm parte real.
Em termos de estabilidade:
- Sistema estável: Todos os polos têm parte real negativa.
- Sistema marginalmente estável: Polos estão no eixo imaginário com multiplicidade 1.
- Sistema instável: Polos no eixo imaginário com multiplicidade maior que 1 ou com parte real positiva.
Passo 4
No nosso caso, os polos estão no eixo imaginário (
) e cada um tem multiplicidade 2. Isso significa que o sistema não é apenas marginalmente estável, mas na verdade assintoticamente instável, porque a multiplicidade maior que 1 nos polos no eixo imaginário faz com que a resposta do sistema cresça com o tempo.
Resposta
B) A resposta é assintoticamente instável.