Obtenha o modelo (de primeira ordem) de um forno elétrico. Ao ser acionado, a temperatura começa a aumentar após 20 segundos. A temperatura ambiente inicial é de 20 graus, e o forno atinge 350 graus após um determinado tempo. O tempo de subida, Tr, é de 410 segundos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício para modelar um forno elétrico usando um modelo de primeira ordem. Isso significa que queremos representar como a temperatura do forno muda ao longo do tempo quando ele é ligado. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sistemas de primeira ordem, como tempo de subida e comportamento de resposta a um degrau. Vamos juntos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Temperatura ambiente inicial:
  • Temperatura final alcançada pelo forno:
  • Tempo que leva para a temperatura começar a subir após ligar o forno: í segundos
  • Tempo de subida (tempo que a temperatura leva para ir de 10% a 90% do valor final): segundos

Passo 3

Entender o que é um modelo de primeira ordem: É um tipo simples de modelo que descreve como uma variável (neste caso, a temperatura) responde a uma mudança, como ligar o forno. A equação geral para a resposta de um sistema de primeira ordem a um degrau é:
T(t) = Tamb + (Tfinal - Tamb) (1 - e^-t - tiníciotau) í
Onde:
  • é a constante de tempo do sistema
  • é a base do logaritmo natural

Passo 4

Precisamos encontrar a constante de tempo Tr = tau ln(91) = tau ln(9) . Para isso, usamos o tempo de subida . O tempo de subida é o tempo que leva para a temperatura ir de 10% a 90% do valor final após o início da subida.
Usamos a relação para o tempo de subida em sistemas de primeira ordem:
Onde é o logaritmo natural de 9.

Passo 5

Vamos resolver para tau = Trln(9) = 410ln(9) :
ln(9) approx 2.1972
Calculando tau approx 4102.1972 approx 186.6 segundos :
Portanto:

Passo 6

Agora que temos T(t) = 20 + (350 - 20) (1 - e^-t - 20186.6) para t >= 20 segundos , podemos montar a equação completa do modelo. Lembrando que a temperatura só começa a subir após 20 segundos, então adicionamos esse atraso no tempo .

Resposta

O modelo de primeira ordem do forno elétrico é dado por:
T(t) = 20^circ & para t < 20 s 20 + 330 (1 - e^-t - 20186.6) & para t >= 20 s
Isso significa que, após ligar o forno, a temperatura permanece em até passar 20 segundos, e então começa a subir seguindo a equação acima, alcançando com uma constante de tempo de aproximadamente 186.6 segundos.

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