Obtenha o modelo (de primeira ordem) de um forno elétrico. Ao ser acionado, a temperatura começa a aumentar após 20 segundos. A temperatura ambiente inicial é de 20 graus, e o forno atinge 350 graus após um determinado tempo. O tempo de subida, Tr, é de 410 segundos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício para modelar um forno elétrico usando um modelo de primeira ordem. Isso significa que queremos representar como a temperatura do forno muda ao longo do tempo quando ele é ligado. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sistemas de primeira ordem, como tempo de subida e comportamento de resposta a um degrau. Vamos juntos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Temperatura ambiente inicial:
- Temperatura final alcançada pelo forno:
- Tempo que leva para a temperatura começar a subir após ligar o forno:
segundos - Tempo de subida (tempo que a temperatura leva para ir de 10% a 90% do valor final):
segundos
Passo 3
Entender o que é um modelo de primeira ordem: É um tipo simples de modelo que descreve como uma variável (neste caso, a temperatura) responde a uma mudança, como ligar o forno. A equação geral para a resposta de um sistema de primeira ordem a um degrau é:
Onde:
-
é a constante de tempo do sistema -
é a base do logaritmo natural
Passo 4
Precisamos encontrar a constante de tempo
. Para isso, usamos o tempo de subida
. O tempo de subida é o tempo que leva para a temperatura ir de 10% a 90% do valor final após o início da subida.
Usamos a relação para o tempo de subida em sistemas de primeira ordem:
Onde
é o logaritmo natural de 9.
Passo 5
Vamos resolver para
:
Calculando
:
Portanto:
Passo 6
Agora que temos
, podemos montar a equação completa do modelo. Lembrando que a temperatura só começa a subir após 20 segundos, então adicionamos esse atraso no tempo
.
Resposta
O modelo de primeira ordem do forno elétrico é dado por:
Isso significa que, após ligar o forno, a temperatura permanece em
até passar 20 segundos, e então começa a subir seguindo a equação acima, alcançando
com uma constante de tempo de aproximadamente 186.6 segundos.