Considere sistemas de primeira ordem sem condições iniciais. Determine e esboce a resposta ao degrau, o tempo de subida e o tempo de assentamento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar um sistema de primeira ordem sem condições iniciais. A gente precisa determinar e desenhar a resposta do sistema quando aplicamos um degrau (ou seja, uma entrada que muda de 0 para um valor constante de repente), além de encontrar o tempo de subida e o tempo de assentamento dessa resposta. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e análise de sistemas de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que nos foi dada:
Aqui,
é a saída do sistema e
é a entrada. O símbolo
representa a derivada de
em relação ao tempo, ou seja, como
está mudando no tempo.
Como queremos a resposta ao degrau, vamos considerar que
é um degrau unitário, ou seja:
Nesse caso, a derivada de
,
, é zero para
porque o degrau é constante após
. Portanto, a equação simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Trata-se de uma equação linear de primeira ordem, e podemos usar o método do fator integrante para resolvê-la.
A equação geral é:
Onde
e
. O fator integrante é:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Dividindo por
:
Como não temos condições iniciais (como
), e considerando que
(sistema sem condições iniciais), encontramos:
Portanto, a solução completa é:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos a expressão para a resposta ao degrau, vamos esboçar o gráfico. A função
começa em 0 quando
e assenta em
à medida que
aumenta.
O gráfico será uma curva exponencial crescente que se aproxima de 4,2857, sem nunca ultrapassar esse valor.
Passo 5
Vamos calcular o tempo de assentamento (
). Considerando um critério de 2%, queremos encontrar o tempo em que
está dentro de 2% da valor final.
Isso significa:
Substituindo
:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Então, o tempo de assentamento é aproximadamente 5,59 segundos.
Resposta
A resposta ao degrau do sistema é
. O tempo de assentamento é aproximadamente 5,59 segundos.