Considere sistemas de primeira ordem sem condições iniciais. Determine e esboce a resposta ao degrau, o tempo de subida e o tempo de assentamento. doty+0,7 y=3 x-9 dotx

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar um sistema de primeira ordem sem condições iniciais. A gente precisa determinar e desenhar a resposta do sistema quando aplicamos um degrau (ou seja, uma entrada que muda de 0 para um valor constante de repente), além de encontrar o tempo de subida e o tempo de assentamento dessa resposta. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e análise de sistemas de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que nos foi dada:
doty + 0,7, y = 3, x - 9, dotx
Aqui, x(t) = 0 & para t < 0 1 & para t >= 0 é a saída do sistema e doty + 0,7, y = 3 é a entrada. O símbolo representa a derivada de em relação ao tempo, ou seja, como está mudando no tempo.
Como queremos a resposta ao degrau, vamos considerar que é um degrau unitário, ou seja:
Nesse caso, a derivada de , , é zero para porque o degrau é constante após . Portanto, a equação simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Trata-se de uma equação linear de primeira ordem, e podemos usar o método do fator integrante para resolvê-la.
A equação geral é:
doty + a, y = b
Onde mu(t) = e^integral a, dt = e^0,7 t e e^0,7 t doty + 0,7, e^0,7 t y = 3, e^0,7 t . O fator integrante é:
ddt ( e^0,7 t y ) = 3, e^0,7 t
Multiplicando toda a equação por e^0,7 t y = 30,7 e^0,7 t + C :
y(t) = 30,7 + C e^-0,7 t
Isso simplifica para:
0 = 30,7 + C
Integrando ambos os lados:
C = -30,7
Onde y(t) = 30,7 ( 1 - e^-0,7 t ) é a constante de integração. Dividindo por y(t) approx 4,2857 ( 1 - e^-0,7 t ) :
Como não temos condições iniciais (como ), e considerando que (sistema sem condições iniciais), encontramos:
Portanto, a solução completa é:
Simplificando:

Passo 4

Agora que temos a expressão para a resposta ao degrau, vamos esboçar o gráfico. A função começa em 0 quando e assenta em à medida que aumenta.
O gráfico será uma curva exponencial crescente que se aproxima de 4,2857, sem nunca ultrapassar esse valor.

Passo 5

Vamos calcular o tempo de assentamento ( |y(t) - 4,2857| <= 0,02 times 4,2857 approx 0,0857 ). Considerando um critério de 2%, queremos encontrar o tempo em que 4,2857 ( 1 - e^-0,7 t ) >= 4,2857 - 0,0857 está dentro de 2% da valor final.
Isso significa:
1 - e^-0,7 t >= 1 - 0,02
Substituindo e^-0,7 t <= 0,02 :
-0,7 t <= ln(0,02)
t >= -ln(0,02)0,7
t >= 3,9120,7 approx 5,588 segundos
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Então, o tempo de assentamento é aproximadamente 5,59 segundos.

Resposta

A resposta ao degrau do sistema é . O tempo de assentamento é aproximadamente 5,59 segundos.

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