Calcule o resto da divisão de 3^{102} por 101.

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de 3^{102} por 101. O conteúdo da matéria é aritmética modular e, em especial, o Teorema de Fermat, que nos permite simplificar potências de bases não divisíveis por um primo.

Passo 2

O Teorema de Fermat diz que, se p é primo e a não é múltiplo de p, então
a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}.
Aqui, p = 101 (que é primo) e a = 3, que não é múltiplo de 101. Logo,
3^{100} \equiv 1 \pmod{101}.

Passo 3

Podemos escrever
3^{102} = 3^{100} \cdot 3^2.
Tomando tudo módulo 101 e usando o resultado do passo anterior,
3^{102} \equiv \bigl(3^{100}\bigr)\cdot 3^2 \equiv 1 \cdot 3^2 \equiv 9 \pmod{101}.

Resposta

O resto da divisão de 3^{102} por 101 é 9.

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