Prove que 7^{120}-1 é divisível por 143 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que 7^{120}-1 é divisível por 143. O conteúdo envolvido é teoria de congruências e, em particular, o Teorema de Euler (ou, equivalentemente, o Pequeno Teorema de Fermat via fatoração). Vamos fatorar 143, calcular \varphi(143) e aplicar o Teorema de Euler.

Passo 2

Observe que
143 = 11 \times 13
sendo 11 e 13 primos distintos. Logo,
\varphi(143) = (11-1)\,(13-1) = 10 \times 12 = 120.
Além disso, claramente \gcd(7,143)=1, pois 7 não divide nem 11 nem 13.

Passo 3

O Teorema de Euler afirma que, se \gcd(a,n)=1, então
a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Euler a a=7 e n=143, como \varphi(143)=120, obtemos
7^{120} \equiv 1 \pmod{143}.
Isso implica que 7^{120}-1 é múltiplo de 143.

Resposta

Portanto, 7^{120}-1 é divisível por 143.

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