Calcule o resto da divisão de 3^19! por 307 .

Passo 1

O enunciado pede o resto de 3^19! na divisão por 307. Como 307 é primo, vamos usar o Teorema de Fermat (caso especial do Teorema de Euler) para reduzir o expoente módulo varphi(307).

Passo 2

Verificamos que 307 é primo, então
3^306 equiv 1 pmod307
pelo Teorema de Fermat. Consequentemente, para qualquer inteiro n,
3^n equiv 3^,n bmod 306pmod307

Passo 3

Precisamos do resto de 19! em módulo 306. Fatorando
306 = 2 times 3^2 times 17,
observamos que em 19! aparecem pelo menos um fator 2, dois fatores 3 (de 3,6, 9, ldots, 18) e um fator 17. Logo
306 mid 19! Longrightarrow 19! equiv 0 pmod306

Passo 4

Da redução de expoente temos
3^19! equiv 3^0 equiv 1 pmod307

Resposta

1

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