Complete com V(verdadeiro) ou F(falso), justificando sua resposta.
Sejam V um espaço vetorial de dimensão n e v1, v2, ldots, vn-1 subset V um conjunto LI. Então v1, v2, ldots, vn-1, v é base de V qualquer que seja o vetor v in V.

Passo 1

O enunciado fala de um espaço vetorial V de dimensão n e de um conjunto de n-1 vetores v1,dots,vn-1 que é linearmente independente (LI). A afirmação a verificar é: “para qualquer vetor vin V, o conjunto v1,dots,vn-1,v é uma base de V”. O conteúdo usado será a definição de base: um conjunto é base de V se, e somente se, for LI e gerar todo V.

Passo 2

Pela definição, um conjunto de n vetores em V é base se satisfaz dois requisitos simultâneos:
  1. É linearmente independente.
  2. Gera V.
    Como já temos v1,dots,vn-1 LI, para completar uma base precisamos de exatamente mais um vetor v que não esteja no subespaço gerado por v1,dots,vn-1, ou seja,
v notin Spanv1,dots,vn-1
Se v ficar dentro desse span, o conjunto passa a ser linearmente dependente e falha como base.

Passo 3

A afirmação dizia “qualquer que seja vin V”, mas existem escolhas de v que \emph{não} satisfazem a condição acima. Logo, a afirmação é falsa, pois falta exigir vnotinSpanv1,dots,vn-1.

Passo 4

Contra‐exemplo simples em R^2 ( n=2):
Escolha v1=(1,0). Então v1 é LI mas gera apenas o eixo x. Se pegarmos v=(2,0), vemos que
v=(2,0)=2,(1,0)=2,v1inSpanv1,
então v1,v é linearmente dependente e não forma base de R^2.

Resposta

F (falso)

Exercícios relacionados