Complete com V(verdadeiro) ou F(falso), justificando sua resposta.
Sejam
um espaço vetorial de dimensão
e
um conjunto LI. Então
é base de
qualquer que seja o vetor
.
Sejam
Passo 1
O enunciado fala de um espaço vetorial
de dimensão
e de um conjunto de
vetores
que é linearmente independente (LI). A afirmação a verificar é: “para qualquer vetor
, o conjunto
é uma base de
”. O conteúdo usado será a definição de base: um conjunto é base de
se, e somente se, for LI e gerar todo
.
Passo 2
Pela definição, um conjunto de
vetores em
é base se satisfaz dois requisitos simultâneos:
- É linearmente independente.
- Gera
.
Como já temosLI, para completar uma base precisamos de exatamente mais um vetor que não esteja no subespaço gerado por , ou seja,
Se
ficar dentro desse span, o conjunto passa a ser linearmente dependente e falha como base.
Passo 3
A afirmação dizia “qualquer que seja
”, mas existem escolhas de
que \emph{não} satisfazem a condição acima. Logo, a afirmação é falsa, pois falta exigir
.
Passo 4
Contra‐exemplo simples em
(
):
Escolha . Então
é LI mas gera apenas o eixo
. Se pegarmos
, vemos que
Escolha
então
é linearmente dependente e não forma base de
.
Resposta
F (falso)