A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio mínimo é
, sabendo que a multiplicidade algébrica do autovalor 1 é 5 e que A é uma matriz
Passo 1
O enunciado pede todas as formas canônicas de Jordan de uma matriz
cujo polinômio mínimo é
sabendo que a multiplicidade algébrica de
é
. Vamos usar as relações entre polinômio mínimo, multiplicidade algébrica e tamanho dos blocos de Jordan.
Passo 2
Para o autovalor
temos multiplicidade algébrica
Como em
o fator
aparece com expoente
, o maior bloco de Jordan associado a
tem tamanho
. Logo os blocos para
devem somar
, cada bloco tem tamanho
, e pelo menos um bloco tem tamanho
. A única partição de
com esse requisito é um bloco de tamanho
.
Passo 3
Para o autovalor
a multiplicidade algébrica é
e em
o fator
aparece com expoente
, de modo que o maior bloco de Jordan associado a
tem tamanho
. Precisamos particionar
em blocos de tamanho
ou
, com pelo menos um bloco de tamanho
. As únicas partições possíveis de
que usam apenas
e
e contêm ao menos um
são
-
, -
.
Passo 4
Juntando as duas partes, para
temos sempre um bloco
. Para
há duas configurações de blocos de Jordan:
- um bloco de ordem 2 e três de ordem 1;
- dois blocos de ordem 2 e um de ordem 1.