A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio mínimo é m(t)=(t+1)^4 (t-1)^2, sabendo que a multiplicidade algébrica do autovalor 1 é 5 e que A é uma matriz 9 times 9

Passo 1

O enunciado pede todas as formas canônicas de Jordan de uma matriz AinC^9times9 cujo polinômio mínimo é
m(t) = (t+1)^4,(t-1)^2,
sabendo que a multiplicidade algébrica de 1 é 5. Vamos usar as relações entre polinômio mínimo, multiplicidade algébrica e tamanho dos blocos de Jordan.

Passo 2

Para o autovalor -1 temos multiplicidade algébrica
mu-1 = 9 - mu1 = 9 - 5 = 4
Como em m(t) o fator (t+1) aparece com expoente 4, o maior bloco de Jordan associado a -1 tem tamanho 4. Logo os blocos para -1 devem somar 4, cada bloco tem tamanho <=4, e pelo menos um bloco tem tamanho 4. A única partição de 4 com esse requisito é um bloco de tamanho 4.

Passo 3

Para o autovalor 1 a multiplicidade algébrica é
mu1 = 5,
e em m(t) o fator (t-1) aparece com expoente 2, de modo que o maior bloco de Jordan associado a 1 tem tamanho 2. Precisamos particionar 5 em blocos de tamanho 1 ou 2, com pelo menos um bloco de tamanho 2. As únicas partições possíveis de 5 que usam apenas 1 e 2 e contêm ao menos um 2 são
  • 2 + 1 + 1 + 1,
  • 2 + 2 + 1.

Passo 4

Juntando as duas partes, para -1 temos sempre um bloco J4(-1). Para 1 há duas configurações de blocos de Jordan:
  1. um bloco de ordem 2 e três de ordem 1;
  2. dois blocos de ordem 2 e um de ordem 1.

Resposta

J4(-1);oplus;J2(1);oplus;J1(1);oplus;J1(1);oplus;J1(1),
J4(-1);oplus;J2(1);oplus;J2(1);oplus;J1(1)

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