A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio característico é p(t)=(t+1)^k(t+2)^alpha, cujo polinômio mínimo é m(t)=(t+1)^3(t+2)^4 e a matriz A possui ordem 7

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz A in M7(C) com polinômio característico
p(t) = (t+1)^k(t+2)^alpha,
polinômio mínimo
m(t) = (t+1)^3(t+2)^4,
e ordem 7. Pelo teorema de Jordan, o expoente de cada fator em m(t) é igual ao tamanho do maior bloco de Jordan associado a esse autovalor, e em p(t) é a soma das dimensões de todos os blocos associados. Nosso objetivo é achar todas as partici- ões de k e alpha e de blocos que satisfaçam
1. k + alpha = 7 (dimensão total),
2. k >= 3 e alpha >= 4 (para reproduzir m(t)),
3. o maior bloco em lambda = -1 tem tamanho 3, e em lambda = -2 tem tamanho 4.

Passo 2

Da condição k+alpha=7 com k>=3 e alpha>=4 só há a solução
k=3, alpha=4
Ou seja, o autovalor -1 tem multiplicidade algébrica 3 e o autovalor -2 tem multiplicidade algébrica 4.

Passo 3

Para lambda=-1 (multiplicidade 3) e maior bloco de tamanho 3, a única partição de 3 cujo maior termo seja 3 é
3=3,
logo há exatamente um bloco de Jordan de ordem 3 para lambda=-1.

Passo 4

Para lambda=-2 (multiplicidade 4) e maior bloco de tamanho 4, a única partição de 4 cujo maior termo seja 4 é
4=4,
logo há exatamente um bloco de Jordan de ordem 4 para lambda=-2.

Passo 5

Concluímos que, salvo reordenação dos blocos, o formulário de Jordan de A é único e dado pela soma direta de um bloco de tamanho 3 em -1 e um bloco de tamanho 4 em -2.

Resposta

A forma canônica de Jordan de A é
J ;=; J3(-1);oplus;J4(-2)

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