Considerando os dados tabelados a seguir:
a) Calcule o valor da função f(X) para X=5,2 por meio do polinômio interpolador de Lagrange e de Newton (diferenças divididas);
b) Determine os coeficientes ( a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} ) do polinômio interpolador na forma canônica: P_{n}(X)=a_{0}+a_{1} X+a_{2} X^{2}+\ldots+a_{n} X^{n}
X Y
0 0.9
4 2.8
10 6

Passo 1

O enunciado dá três pares ordenados (valores tabelados) e pede duas coisas:
  • Calcular o valor de f(X) em X=5,2 usando (i) o polinômio interpolador de Lagrange e (ii) o polinômio de Newton (diferenças divididas).
  • Determinar os coeficientes a_{0},a_{1},a_{2},\ldots,a_{n} do polinômio interpolador na forma canônica P_{n}(X)=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\ldots.
Os dados fornecidos são (peguei-os da tabela do enunciado):
  • (X_{0},Y_{0})=(0,\,0,9).
  • (X_{1},Y_{1})=(4,\,2,8).
  • (X_{2},Y_{2})=(10,\,6).
Observação prática: com três pontos distintos o polinômio interpolador será de grau \le 2 (um quadrático). Vou construir o polinômio em duas formas diferentes (Lagrange e Newton), avaliar em X=5,2 e depois expandir para obter os coeficientes canônicos.

Passo 2

Construção e avaliação pelo polinômio de Lagrange (passo a passo e explicando o método).
Breve aula: a forma de Lagrange constrói o polinômio interpolador como
P_{2}(X)=\sum_{i=0}^{2} Y_{i}\,L_{i}(X),
onde cada L_{i}(X) é um polinômio tal que L_{i}(X_{j})=\delta_{ij} (1 se i=j, 0 caso contrário). A fórmula para L_{i} é
L_{i}(X)=\prod_{\substack{0\le k\le 2\\\ k\ne i}}\frac{X-X_{k}}{X_{i}-X_{k}}.
Cada L_{i} anula-se em todos os X_{j} com j\ne i e vale 1 em X_{i}, garantindo que P_{2}(X_{i})=Y_{i}.
Agora monto os três L_{i} com os X_{i} dados:
L_{0}(X)=\frac{(X-4)(X-10)}{(0-4)(0-10)}=\frac{(X-4)(X-10)}{40}.
L_{1}(X)=\frac{(X-0)(X-10)}{(4-0)(4-10)}=\frac{X(X-10)}{-24}.
L_{2}(X)=\frac{(X-0)(X-4)}{(10-0)(10-4)}=\frac{X(X-4)}{60}.
O polinômio interpolador é
P_{2}(X)=0,9\,L_{0}(X)+2,8\,L_{1}(X)+6\,L_{2}(X).
Agora avaliamos em X=5,2. Primeiro calcule cada L_{i}(5,2):
L_{0}(5,2)=\frac{(5,2-4)(5,2-10)}{40}=\frac{1,2\cdot(-4,8)}{40}=\frac{-5,76}{40}=-0,144.
L_{1}(5,2)=\frac{5,2(5,2-10)}{-24}=\frac{5,2\cdot(-4,8)}{-24}=\frac{-24,96}{-24}=1,04.
L_{2}(5,2)=\frac{5,2(5,2-4)}{60}=\frac{5,2\cdot1,2}{60}=\frac{6,24}{60}=0,104.
Verificação rápida (propriedade dos L_i): L_{0}+L_{1}+L_{2}=-0,144+1,04+0,104=1, ok.
Finalmente:
\begin{aligned} P_{2}(5,2)&=0,9\cdot(-0,144)+2,8\cdot1,04+6\cdot0,104\\\ &=-0,1296+2,912+0,624=3,4064. \end{aligned}
Portanto, pelo método de Lagrange obtém-se P_{2}(5,2)=3,4064.

Passo 3

Construção e avaliação pelo polinômio de Newton usando diferenças divididas (explicando o método).
Breve aula: a forma de Newton constrói o polinômio em base Newtoniana:
P_{2}(X)=f[X_{0}]+f[X_{0},X_{1}](X-X_{0})+f[X_{0},X_{1},X_{2}](X-X_{0})(X-X_{1}),
onde f[X_{i}] são as diferenças divididas. Isso é útil porque ao acrescentar pontos basta calcular novas diferenças divididas; também é fácil avaliar com o método de Horner adaptado.
Calculemos as diferenças divididas com os dados:
f[X_{0}]=Y_{0}=0,9.
Primeira ordem:
f[X_{0},X_{1}]=\frac{Y_{1}-Y_{0}}{X_{1}-X_{0}}=\frac{2,8-0,9}{4-0}=\frac{1,9}{4}=\frac{19}{40}=0,475.
f[X_{1},X_{2}]=\frac{Y_{2}-Y_{1}}{X_{2}-X_{1}}=\frac{6-2,8}{10-4}=\frac{3,2}{6}=\frac{8}{15}\approx0,533333\ldots
Segunda ordem:
f[X_{0},X_{1},X_{2}]=\frac{f[X_{1},X_{2}]-f[X_{0},X_{1}]}{X_{2}-X_{0}} =\frac{\tfrac{8}{15}-\tfrac{19}{40}}{10}=\frac{\tfrac{7}{120}}{10}=\frac{7}{1200}=0,0058333333\ldots
Logo o polinômio de Newton é
P_{2}(X)=0,9+0,475\,(X-0)+\frac{7}{1200}\,(X-0)(X-4).
Agora avaliamos em X=5,2:
\begin{aligned} P_{2}(5,2)&=0,9+0,475\cdot5,2+\frac{7}{1200}\cdot5,2\cdot(5,2-4)\\\ &=0,9+2,47+\frac{7}{1200}\cdot5,2\cdot1,2. \end{aligned}
Calcule o último termo: 5,2\cdot1,2=6,24, então \tfrac{7}{1200}\cdot6,24=\tfrac{43,68}{1200}=0,0364.
Somando: 0,9+2,47+0,0364=3,4064.
Conclusão: por Newton também obtemos P_{2}(5,2)=3,4064, igual ao resultado de Lagrange (como deve ser).

Passo 4

Expansão do polinômio na forma canônica e determinação dos coeficientes a_{0},a_{1},a_{2}.
Partindo da forma de Newton obtida:
P_{2}(X)=0,9+\frac{19}{40}X+\frac{7}{1200}X(X-4).
Expanda o último produto:
\frac{7}{1200}X(X-4)=\frac{7}{1200}X^{2}-\frac{28}{1200}X.
Some os termos em X:
\text{coeficiente de }X:\quad \frac{19}{40}-\frac{28}{1200}.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 1200:
\frac{19}{40}=\frac{19\cdot30}{1200}=\frac{570}{1200},\qquad \frac{28}{1200}=\frac{28}{1200}.
Portanto o coeficiente de X é
\frac{570-28}{1200}=\frac{542}{1200}=\frac{271}{600}.
O termo em X^{2} é \dfrac{7}{1200}. O termo constante é 0,9=\dfrac{9}{10}.
Assim os coeficientes na forma canônica P_{2}(X)=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2} são:
a_{0}=\frac{9}{10}=0,9, \qquad a_{1}=\frac{271}{600}\approx0,4516666667, \qquad a_{2}=\frac{7}{1200}\approx0,0058333333.
Se quiser verificar, substituindo esses coeficientes em P_{2}(5,2) obtém-se novamente 3,4064.

Passo 5

Resumo e verificação final rápida:
  • Os dois métodos (Lagrange e Newton) fornecem exatamente o mesmo polinômio interpolador (como esperado).
  • A avaliação em X=5,2 deu 3,4064.
  • O polinômio expandido tem coeficientes racionais simples que apresentei acima (útil na prova para justificar exatidão).
Força aí — você já tem as contas organizadas e mostrou duas construções diferentes do mesmo polinômio, o que costuma agradar o examinador. Se quiser, eu mostro como avaliar o polinômio mantendo frações exatas até o final.

Resposta

Lagrange: P_{2}(5,2)=3,4064
Newton: P_{2}(5,2)=3,4064
a_{0}=\dfrac{9}{10}=0,9
a_{1}=\dfrac{271}{600}\approx0,4516666667
a_{2}=\dfrac{7}{1200}\approx0,0058333333

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