Considerando os dados tabelados a seguir:
a) Calcule o valor da função
para
por meio do polinômio interpolador de Lagrange e de Newton (diferenças divididas);
b) Determine os coeficientes (
) do polinômio interpolador na forma canônica:
X
Y
0
0.9
4
2.8
10
6
a) Calcule o valor da função
b) Determine os coeficientes (
| X | Y |
| 0 | 0.9 |
| 4 | 2.8 |
| 10 | 6 |
Passo 1
O enunciado dá três pares ordenados (valores tabelados) e pede duas coisas:
- Calcular o valor de
em usando (i) o polinômio interpolador de Lagrange e (ii) o polinômio de Newton (diferenças divididas). - Determinar os coeficientes
do polinômio interpolador na forma canônica .
Os dados fornecidos são (peguei-os da tabela do enunciado):
-
. -
. -
.
Observação prática: com três pontos distintos o polinômio interpolador será de grau
(um quadrático). Vou construir o polinômio em duas formas diferentes (Lagrange e Newton), avaliar em
e depois expandir para obter os coeficientes canônicos.
Passo 2
Construção e avaliação pelo polinômio de Lagrange (passo a passo e explicando o método).
Breve aula: a forma de Lagrange constrói o polinômio interpolador como
onde cada
é um polinômio tal que
(1 se
, 0 caso contrário). A fórmula para
é
Cada
anula-se em todos os
com
e vale 1 em
, garantindo que
.
Agora monto os três
com os
dados:
O polinômio interpolador é
Agora avaliamos em
. Primeiro calcule cada
:
Verificação rápida (propriedade dos
):
, ok.
Finalmente:
Portanto, pelo método de Lagrange obtém-se
.
Passo 3
Construção e avaliação pelo polinômio de Newton usando diferenças divididas (explicando o método).
Breve aula: a forma de Newton constrói o polinômio em base Newtoniana:
onde
são as diferenças divididas. Isso é útil porque ao acrescentar pontos basta calcular novas diferenças divididas; também é fácil avaliar com o método de Horner adaptado.
Calculemos as diferenças divididas com os dados:
Primeira ordem:
Segunda ordem:
Logo o polinômio de Newton é
Agora avaliamos em
:
Calcule o último termo:
, então
.
Somando:
.
Conclusão: por Newton também obtemos
, igual ao resultado de Lagrange (como deve ser).
Passo 4
Expansão do polinômio na forma canônica e determinação dos coeficientes
.
Partindo da forma de Newton obtida:
Expanda o último produto:
Some os termos em
:
Colocando tudo sobre o mesmo denominador
:
Portanto o coeficiente de
é
O termo em
é
. O termo constante é
.
Assim os coeficientes na forma canônica
são:
Se quiser verificar, substituindo esses coeficientes em
obtém-se novamente
.
Passo 5
Resumo e verificação final rápida:
- Os dois métodos (Lagrange e Newton) fornecem exatamente o mesmo polinômio interpolador (como esperado).
- A avaliação em
deu . - O polinômio expandido tem coeficientes racionais simples que apresentei acima (útil na prova para justificar exatidão).
Força aí — você já tem as contas organizadas e mostrou duas construções diferentes do mesmo polinômio, o que costuma agradar o examinador. Se quiser, eu mostro como avaliar o polinômio mantendo frações exatas até o final.
Resposta
Lagrange:
Newton:
Newton: