e a estimativa inicial: x = [0,0].
a) Resolva o sistema utilizando o método Gauss-Jacobi.
b) Resolva o sistema utilizando o Gauss Seidel.
c) A cada iteração calcule o valor de \Delta x e F(x)=A \cdot x-b
d) Calcule o erro relativo e absoluto do resultado obtido em cada método.
e) Aplique um fator de relaxamento \lambda=0.5 e resolva pelo método de Gauss Seidel (SOR).
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear com duas incógnitas e pede várias coisas. Vou listar claramente o que nos é dado e o que precisa ser encontrado (peguei os coeficientes diretamente do enunciado).
O enunciado pede:
(a) resolver pelo método de Gauss–Jacobi;
(b) resolver pelo método de Gauss–Seidel;
(c) a cada iteração calcular \Delta x e F(x)=A\cdot x - b;
(d) calcular o erro absoluto e relativo do resultado obtido em cada método;
(e) aplicar relaxamento com \lambda=0{,}5 (SOR) e resolver (com as mesmas exigências de \Delta x, F(x), erros).
Vou usar um critério de parada prático: paro quando \|\Delta x\|_{\infty}<10^{-6} (norma infinito do vetor diferença entre iterações). Também calcularei o vetor residual F(x)=Ax-b a cada iteração. Para os erros (item d) vou comparar com a solução exata do sistema (que usarei apenas para medir erro, não como “atalho” das iterações): o erro absoluto será o vetor \lvert x^{(k)} - x^\ast\rvert e o erro relativo será \dfrac{\|x^{(k)}-x^\ast\|_{\infty}}{\|x^\ast\|_{\infty}}. (Onde \|v\|_{\infty}=\max_i |v_i|.)]
Passo 2
Breve aula / preparação (o que vamos usar e por quê).
Ideia dos métodos iterativos (Jacobi e Gauss–Seidel):
Reescreve-se cada equação isolando a incógnita da diagonal.
No Jacobi, todas as componentes de [x^{(k+1)}) são calculadas a partir de x^{(k)} (valores antigos).
No Gauss–Seidel, usamos imediatamente os componentes já atualizados de x^{(k+1)} à medida que são calculados (usa informação mais nova; normalmente converge mais rápido).
Fórmulas para o nosso sistema (as derivamos isolando X_1 e X_2):
Da primeira equação: 4X_1 = 9 - X_2 \Rightarrow X_1 = \dfrac{1}{4}\,(9 - X_2).
onde \tilde X_1^{(k+1)}=\dfrac{1}{4}(9-X_2^{(k)}) e \tilde X_2^{(k+1)}=\dfrac{1}{6}(10-2X_1^{(k+1)}) (mesma sequência do GS, mas aplicando a relaxação).
Definição de \Delta x e F(x) que eu usarei em cada iteração:
Portanto Gauss–Seidel convergiu em 7 iterações até a tolerância escolhida; vetor final mostrado acima.]
Passo 6
Agora SOR com \lambda=0{,}5. Vou aplicar a versão relaxada do Gauss–Seidel: primeiro obtenho os candidatos \tilde X_1^{(k+1)} e \tilde X_2^{(k+1)} (como no GS) e depois relaxo:
Faço iterações e mostro os vetores x^{(k)}, \Delta x^{(k)} e F(x^{(k)}). Agrupei em blocos para não ficar muito repetitivo, mas cada linha é uma iteração concreta.
O SOR com \lambda=0{,}5 convergiu em 25 iterações até a tolerância escolhida; vetor final aproximado é x^{(25)} indicado.]
Passo 7
Cálculo dos erros absolutos e relativos (item d). Primeiro precisamos da solução exata x^\ast para comparar; é correto usar a solução exata apenas para medir erro (não para substituir iterações).
Resolver o sistema exatamente por eliminação (curtíssimo):
Observações rápidas (didáticas, para a prova): Gauss–Seidel convergiu mais rápido que Jacobi (7 vs 13 iterações) porque usa atualizações imediatas; o SOR com \lambda=0{,}5 (sub-relaxação) convergiu, mas mais devagar (25 iterações) — sub-relaxação tende a desacelerar a convergência comparado ao GS, embora possa melhorar estabilidade em alguns casos. Para acelerar normalmente se escolhe \lambda>1 apropriado (over-relaxation), mas aqui foi pedido \lambda=0{,}5.]
Resposta
(a) Gauss–Jacobi: x \approx \begin{pmatrix}2{,}0000000837\\[4pt]1{,}0000002233\end{pmatrix} (convergiu em 13 iterações, \|\Delta x^{(13)}\|_{\infty}\approx 2{,}233\cdot 10^{-7}).
(b) Gauss–Seidel: x \approx \begin{pmatrix}2{,}0000000837\\[4pt]0{,}9999999721\end{pmatrix} (convergiu em 7 iterações, \|\Delta x^{(7)}\|_{\infty}\approx 9{,}209\cdot 10^{-7}).
(c) A cada iteração foram calculados \Delta x^{(k)}=x^{(k)}-x^{(k-1)} e F\bigl(x^{(k)}\bigr)=A x^{(k)}-b; os valores por iteração foram listados nos passos da resolução (ex.: para Jacobi a iteração final k=13 tem \Delta x^{(13)}\approx(8{,}352\cdot10^{-8},\;2{,}233\cdot10^{-7})^T e F(x^{(13)})\approx(5{,}58\cdot10^{-7},\;1{,}507\cdot10^{-6})^T).
(d) Erros (comparando com x^\ast=(2,1)^T):
SOR (\lambda=0{,}5): erro absoluto \approx(1{,}2933\cdot10^{-6},\;1{,}2016\cdot10^{-6})^T, erro relativo \approx 6{,}4665\cdot10^{-7}.
(e) SOR (\lambda=0{,}5): x \approx \begin{pmatrix}1{,}9999987067\\[4pt]1{,}0000012016\end{pmatrix} (convergiu em 25 iterações, \|\Delta x^{(25)}\|_{\infty}\approx 8{,}0035\cdot10^{-7}).]