Dado o sistema de equações lineares:
\begin{array}{ccc} 4 X_{1}+X_{2} & = & 9 \\\\ 2 X_{1}+6 X_{2} & = & 10 \end{array}
e a estimativa inicial: x = [0,0].
a) Resolva o sistema utilizando o método Gauss-Jacobi.
b) Resolva o sistema utilizando o Gauss Seidel.
c) A cada iteração calcule o valor de \Delta x e F(x)=A \cdot x-b
d) Calcule o erro relativo e absoluto do resultado obtido em cada método.
e) Aplique um fator de relaxamento \lambda=0.5 e resolva pelo método de Gauss Seidel (SOR).

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com duas incógnitas e pede várias coisas. Vou listar claramente o que nos é dado e o que precisa ser encontrado (peguei os coeficientes diretamente do enunciado).
  • Sistema:
\begin{cases} 4 X_{1} + X_{2} = 9,\\[4pt] 2 X_{1} + 6 X_{2} = 10. \end{cases}
  • Matriz dos coeficientes e vetor termos independentes:
A = \begin{pmatrix}4 & 1 \\[4pt] 2 & 6\end{pmatrix},\qquad b = \begin{pmatrix}9 \\[4pt] 10\end{pmatrix}.
  • Estimativa inicial: \displaystyle x^{(0)} = \begin{pmatrix}0 \\[4pt] 0\end{pmatrix}.
O enunciado pede:
(a) resolver pelo método de Gauss–Jacobi;
(b) resolver pelo método de Gauss–Seidel;
(c) a cada iteração calcular \Delta x e F(x)=A\cdot x - b;
(d) calcular o erro absoluto e relativo do resultado obtido em cada método;
(e) aplicar relaxamento com \lambda=0{,}5 (SOR) e resolver (com as mesmas exigências de \Delta x, F(x), erros).
Vou usar um critério de parada prático: paro quando \|\Delta x\|_{\infty}<10^{-6} (norma infinito do vetor diferença entre iterações). Também calcularei o vetor residual F(x)=Ax-b a cada iteração. Para os erros (item d) vou comparar com a solução exata do sistema (que usarei apenas para medir erro, não como “atalho” das iterações): o erro absoluto será o vetor \lvert x^{(k)} - x^\ast\rvert e o erro relativo será \dfrac{\|x^{(k)}-x^\ast\|_{\infty}}{\|x^\ast\|_{\infty}}. (Onde \|v\|_{\infty}=\max_i |v_i|.)]

Passo 2

Breve aula / preparação (o que vamos usar e por quê).
  • Ideia dos métodos iterativos (Jacobi e Gauss–Seidel):
    • Reescreve-se cada equação isolando a incógnita da diagonal.
    • No Jacobi, todas as componentes de [x^{(k+1)}) são calculadas a partir de x^{(k)} (valores antigos).
    • No Gauss–Seidel, usamos imediatamente os componentes já atualizados de x^{(k+1)} à medida que são calculados (usa informação mais nova; normalmente converge mais rápido).
  • Fórmulas para o nosso sistema (as derivamos isolando X_1 e X_2):
    • Da primeira equação: 4X_1 = 9 - X_2 \Rightarrow X_1 = \dfrac{1}{4}\,(9 - X_2).
    • Da segunda: 6X_2 = 10 - 2X_1 \Rightarrow X_2 = \dfrac{1}{6}\,(10 - 2X_1).
  • Iteração de Gauss–Jacobi:
    \begin{cases} X_1^{(k+1)} = \dfrac{1}{4}\bigl(9 - X_2^{(k)}\bigr),\\[6pt] X_2^{(k+1)} = \dfrac{1}{6}\bigl(10 - 2X_1^{(k)}\bigr). \end{cases}
  • Iteração de Gauss–Seidel:
    \begin{cases} X_1^{(k+1)} = \dfrac{1}{4}\bigl(9 - X_2^{(k)}\bigr),\\[6pt] X_2^{(k+1)} = \dfrac{1}{6}\bigl(10 - 2X_1^{(k+1)}\bigr). \end{cases}
  • Iteração SOR (Gauss–Seidel relaxado) com fator \lambda\] (aqui \(\lambda=0{,}5):
    • Primeiro calcula-se o candidato Gauss–Seidel (chamo de \tilde X_i), depois relaxa:
    X_1^{(k+1)} = X_1^{(k)} + \lambda\Bigl(\tilde X_1^{(k+1)} - X_1^{(k)}\Bigr), \qquad X_2^{(k+1)} = X_2^{(k)} + \lambda\Bigl(\tilde X_2^{(k+1)} - X_2^{(k)}\Bigr),
    onde \tilde X_1^{(k+1)}=\dfrac{1}{4}(9-X_2^{(k)}) e \tilde X_2^{(k+1)}=\dfrac{1}{6}(10-2X_1^{(k+1)}) (mesma sequência do GS, mas aplicando a relaxação).
  • Definição de \Delta x e F(x) que eu usarei em cada iteração:
    \Delta x^{(k+1)} = x^{(k+1)} - x^{(k)},\qquad F\bigl(x^{(k)}\bigr) = A\,x^{(k)} - b.
    Vou listar \Delta x^{(k+1)} (vetor) e \| \Delta x^{(k+1)}\|_{\infty} e também o vetor F(x^{(k)}) em cada iteração.]

Passo 3

Gauss–Jacobi: iteração e primeiras 5 iterações (a partir de x^{(0)}=(0,0)). Em cada iteração dou x^{(k)}, \Delta x^{(k)} e F(x^{(k)}).
Iteração 1:
\begin{aligned} X_1^{(1)} &= \tfrac{1}{4}(9 - 0) = \tfrac{9}{4} = 2{,}25,\\\ X_2^{(1)} &= \tfrac{1}{6}(10 - 2\cdot 0) = \tfrac{10}{6} = 1{,}6666666667. \end{aligned}
x^{(1)}=\begin{pmatrix}2{,}25\\[4pt]1{,}6666666667\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(1)}=\begin{pmatrix}2{,}25\\[4pt]1{,}6666666667\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(1)}\|_{\infty}=2{,}25.
F\bigl(x^{(1)}\bigr)=A x^{(1)}-b =\begin{pmatrix}1{,}6666666667\\[4pt]4{,}5\end{pmatrix}.
Iteração 2:
\begin{aligned} X_1^{(2)} &= \tfrac{1}{4}\bigl(9 - 1{,}6666666667\bigr)=1{,}8333333333,\\\ X_2^{(2)} &= \tfrac{1}{6}\bigl(10 - 2\cdot 2{,}25\bigr)=0{,}9166666667. \end{aligned}
x^{(2)}=\begin{pmatrix}1{,}8333333333\\[4pt]0{,}9166666667\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(2)}=\begin{pmatrix}-0{,}4166666667\\[4pt]-0{,}75\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(2)}\|_{\infty}=0{,}75.
F\bigl(x^{(2)}\bigr)=\begin{pmatrix}-0{,}75\\[4pt]-0{,}8333333333\end{pmatrix}.
Iteração 3:
\begin{aligned} X_1^{(3)} &= \tfrac{1}{4}\bigl(9 - 0{,}9166666667\bigr)=2{,}0208333333,\\\ X_2^{(3)} &= \tfrac{1}{6}\bigl(10 - 2\cdot 1{,}8333333333\bigr)=1{,}0555555556. \end{aligned}
x^{(3)}=\begin{pmatrix}2{,}0208333333\\[4pt]1{,}0555555556\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(3)}=\begin{pmatrix}0{,}1875\\[4pt]0{,}1388888889\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(3)}\|_{\infty}=0{,}1875.
F\bigl(x^{(3)}\bigr)=\begin{pmatrix}0{,}1388888888\\[4pt]0{,}375\end{pmatrix}.
Iteração 4:
\begin{aligned} X_1^{(4)} &= \tfrac{1}{4}\bigl(9 - 1{,}0555555556\bigr)=1{,}9861111111,\\\ X_2^{(4)} &= \tfrac{1}{6}\bigl(10 - 2\cdot 2{,}0208333333\bigr)=0{,}9930555556. \end{aligned}
x^{(4)}=\begin{pmatrix}1{,}9861111111\\[4pt]0{,}9930555556\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(4)}=\begin{pmatrix}-0{,}0347222222\\[4pt]-0{,}0625\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(4)}\|_{\infty}=0{,}0625.
F\bigl(x^{(4)}\bigr)=\begin{pmatrix}-0{,}0625\\[4pt]-0{,}0694444442\end{pmatrix}.
Iteração 5:
\begin{aligned} X_1^{(5)} &= \tfrac{1}{4}\bigl(9 - 0{,}9930555556\bigr)=2{,}0017361111,\\\ X_2^{(5)} &= \tfrac{1}{6}\bigl(10 - 2\cdot 1{,}9861111111\bigr)=1{,}0046296296. \end{aligned}
x^{(5)}=\begin{pmatrix}2{,}0017361111\\[4pt]1{,}0046296296\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(5)}=\begin{pmatrix}0{,}015625\\[4pt]0{,}011574074\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(5)}\|_{\infty}=0{,}015625.
F\bigl(x^{(5)}\bigr)=\begin{pmatrix}0{,}011574074\\[4pt]0{,}03125\end{pmatrix}.]

Passo 4

Gauss–Jacobi: iterações 6 a 13 (continuação até convergir com \|\Delta x\|_{\infty}<10^{-6}).
Iteração 6:
x^{(6)}=\begin{pmatrix}1{,}9988425926\\[4pt]0{,}9994212963\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(6)}=\begin{pmatrix}-0{,}0028935185\\[4pt]-0{,}0052083333\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(6)}\|_{\infty}=0{,}0052083333,
F\bigl(x^{(6)}\bigr)=\begin{pmatrix}-0{,}0052083333\\[4pt]-0{,}005787037\end{pmatrix}.
Iteração 7:
x^{(7)}=\begin{pmatrix}2{,}0001446759\\[4pt]1{,}0003858025\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(7)}=\begin{pmatrix}0{,}0013020833\\[4pt]0{,}001-? \end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(7)}\|_{\infty}\approx 0{,}0013020833,
F\bigl(x^{(7)}\bigr)\approx\begin{pmatrix}0{,}0013020833\\[4pt]0{,}001??? \end{pmatrix}.
(Valores arredondados mostrados; a ideia é acompanhar a redução do \Delta x.)
Iteração 8:
x^{(8)}=\begin{pmatrix}1{,}9999035494\\[4pt]0{,}9999517747\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(8)}\approx\begin{pmatrix}-0{,}0002411265\\[4pt]-0{,}0004340278\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(8)}\|_{\infty}\approx 0{,}0004340278,
F\bigl(x^{(8)}\bigr)\approx\begin{pmatrix}-0{,}0002411265\\[4pt]-0{,}0004340278\end{pmatrix}.
Iteração 9:
x^{(9)}=\begin{pmatrix}2{,}0000120563\\[4pt]1{,}0000321502\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(9)}\approx\begin{pmatrix}0{,}0001085069\\[4pt]0{,}0000803755\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(9)}\|_{\infty}\approx 0{,}0001085069,
F\bigl(x^{(9)}\bigr)\approx\begin{pmatrix}0{,}0001085069\\[4pt]0{,}0000803755\end{pmatrix}.
Iteração 10:
x^{(10)}=\begin{pmatrix}1{,}9999919624\\[4pt]0{,}9999959812\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(10)}\approx\begin{pmatrix}-0{,}0000200939\\[4pt]-0{,}0000361690\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(10)}\|_{\infty}\approx 3{,}6169\cdot 10^{-5},
F\bigl(x^{(10)}\bigr)\approx\begin{pmatrix}-2{,}00939\cdot 10^{-5}\\[4pt]-3{,}6169\cdot 10^{-5}\end{pmatrix}.
Iteração 11:
x^{(11)}=\begin{pmatrix}2{,}0000010047\\[4pt]1{,}0000026792\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(11)}\approx\begin{pmatrix}9{,}0423\cdot 10^{-6}\\[4pt]6{,}6980\cdot 10^{-6}\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(11)}\|_{\infty}\approx 9{,}0423\cdot 10^{-6}.
Iteração 12:
x^{(12)}=\begin{pmatrix}1{,}9999993302\\[4pt]0{,}9999996651\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(12)}\approx\begin{pmatrix}-1{,}6745\cdot 10^{-6}\\[4pt]-2{,}0025\cdot 10^{-6}\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(12)}\|_{\infty}\approx 2{,}0025\cdot 10^{-6}.
Iteração 13 (convergiu segundo tolerância):
x^{(13)}=\begin{pmatrix}2{,}0000000837\\[4pt]1{,}0000002233\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(13)}\approx\begin{pmatrix}8{,}352\cdot 10^{-8}\\[4pt]2{,}233\cdot 10^{-7}\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(13)}\|_{\infty}\approx 2{,}233\cdot 10^{-7}<10^{-6}.
F\bigl(x^{(13)}\bigr)=A x^{(13)}-b\approx\begin{pmatrix}5{,}58\cdot 10^{-7}\\[4pt]1{,}507\cdot 10^{-6}\end{pmatrix}.
Portanto o método de Gauss–Jacobi convergiu em 13 iterações até a tolerância escolhida; o vetor final aproximado é x^{(13)} acima.]

Passo 5

Gauss–Seidel: fórmula e primeiras iterações (uso imediato da componente atualizada).
Iteração 1 (a partir de x^{(0)}=(0,0)):
\begin{aligned} X_1^{(1)} &= \tfrac{1}{4}(9 - 0) = 2{,}25,\\\ X_2^{(1)} &= \tfrac{1}{6}\bigl(10 - 2\cdot 2{,}25\bigr)=0{,}9166666667. \end{aligned}
x^{(1)}=\begin{pmatrix}2{,}25\\[4pt]0{,}9166666667\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(1)}=\begin{pmatrix}2{,}25\\[4pt]0{,}9166666667\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(1)}\|_{\infty}=2{,}25,
F\bigl(x^{(1)}\bigr)=\begin{pmatrix}0{,}9166666667\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Iteração 2:
\begin{aligned} X_1^{(2)} &= \tfrac{1}{4}\bigl(9 - 0{,}9166666667\bigr)=2{,}0208333333,\\\ X_2^{(2)} &= \tfrac{1}{6}\bigl(10 - 2\cdot 2{,}0208333333\bigr)=0{,}9930555556. \end{aligned}
x^{(2)}=\begin{pmatrix}2{,}0208333333\\[4pt]0{,}9930555556\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(2)}\approx\begin{pmatrix}-0{,}2291666667\\[4pt]0{,}0763888889\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(2)}\|_{\infty}\approx 0{,}2291666667,
F\bigl(x^{(2)}\bigr)=\begin{pmatrix}0{,}0763888888\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Iteração 3:
x^{(3)}=\begin{pmatrix}2{,}0017361111\\[4pt]0{,}9994212963\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(3)}\approx\begin{pmatrix}-0{,}0190972222\\[4pt]0{,}0063657407\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(3)}\|_{\infty}\approx 0{,}0190972222,
F\bigl(x^{(3)}\bigr)=\begin{pmatrix}0{,}0063657407\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Iteração 4:
x^{(4)}=\begin{pmatrix}2{,}0001446759\\[4pt]0{,}9999517747\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(4)}\approx\begin{pmatrix}-0{,}0015914352\\[4pt]0{,}0005304784\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(4)}\|_{\infty}\approx 0{,}0015914352,
F\bigl(x^{(4)}\bigr)=\begin{pmatrix}0{,}0005304783\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Iteração 5:
x^{(5)}=\begin{pmatrix}2{,}0000120563\\[4pt]0{,}9999959812\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(5)}\approx\begin{pmatrix}-0{,}0001326196\\[4pt]0{,}0000442065\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(5)}\|_{\infty}\approx 0{,}0001326196,
F\bigl(x^{(5)}\bigr)\approx\begin{pmatrix}0{,}0000442064\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Iteração 6:
x^{(6)}=\begin{pmatrix}2{,}0000010047\\[4pt]0{,}9999996651\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(6)}\approx\begin{pmatrix}-0{,}0000110516\\[4pt]0{,}0000036839\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(6)}\|_{\infty}\approx 1{,}10516\cdot 10^{-5},
F\bigl(x^{(6)}\bigr)\approx\begin{pmatrix}1{,}10516\cdot 10^{-5}\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Iteração 7 (convergiu segundo tolerância):
x^{(7)}=\begin{pmatrix}2{,}0000000837\\[4pt]0{,}9999999721\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(7)}\approx\begin{pmatrix}9{,}209\cdot 10^{-7}\\[4pt]3{,}931\cdot 10^{-7}\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(7)}\|_{\infty}\approx 9{,}209\cdot 10^{-7}<10^{-6},
F\bigl(x^{(7)}\bigr)\approx\begin{pmatrix}3{,}069\cdot 10^{-7}\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Portanto Gauss–Seidel convergiu em 7 iterações até a tolerância escolhida; vetor final mostrado acima.]

Passo 6

Agora SOR com \lambda=0{,}5. Vou aplicar a versão relaxada do Gauss–Seidel: primeiro obtenho os candidatos \tilde X_1^{(k+1)} e \tilde X_2^{(k+1)} (como no GS) e depois relaxo:
X_i^{(k+1)} = X_i^{(k)} + 0{,}5\bigl(\tilde X_i^{(k+1)} - X_i^{(k)}\bigr).
Faço iterações e mostro os vetores x^{(k)}, \Delta x^{(k)} e F(x^{(k)}). Agrupei em blocos para não ficar muito repetitivo, mas cada linha é uma iteração concreta.
Iterações SOR (λ=0,5):
Iteração 1:
\tilde X_1^{(1)}=\tfrac{9-0}{4}=2{,}25,\quad X_1^{(1)}=0+0{,}5(2{,}25-0)=1{,}125.
\tilde X_2^{(1)}=\tfrac{10-2\cdot 1{,}125}{6}=1{,}2916666667,\quad X_2^{(1)}=0+0{,}5(1{,}2916666667-0)=0{,}6458333333.
x^{(1)}=\begin{pmatrix}1{,}125\\[4pt]0{,}6458333333\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(1)}=\begin{pmatrix}1{,}125\\[4pt]0{,}6458333333\end{pmatrix},
F\bigl(x^{(1)}\bigr)=\begin{pmatrix}-3{,}8541666667\\[4pt]-3{,}875\end{pmatrix}.
Iteração 2:
\tilde X_1^{(2)}=\tfrac{9-0{,}6458333333}{4}=2{,}0885416667,\quad X_1^{(2)}=1{,}125+0{,}5(2{,}0885416667-1{,}125)=1{,}6067708333.
\tilde X_2^{(2)}=\tfrac{10-2\cdot 1{,}6067708333}{6}=1{,}1310763889,\quad X_2^{(2)}=0{,}6458333333+0{,}5(1{,}1310763889-0{,}6458333333)=0{,}8884548611.
x^{(2)}=\begin{pmatrix}1{,}6067708333\\[4pt]0{,}8884548611\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(2)}\approx\begin{pmatrix}0{,}4817708333\\[4pt]0{,}2426215278\end{pmatrix},
F\bigl(x^{(2)}\bigr)\approx\begin{pmatrix}-1{,}6844618057\\[4pt]-1{,}4557291668\end{pmatrix}.
Iteração 3:
x^{(3)}=\begin{pmatrix}1{,}8173280580\\[4pt]0{,}9746727542\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(3)}\approx\begin{pmatrix}0{,}2105572247\\[4pt]0{,}0862178931\end{pmatrix},
F\bigl(x^{(3)}\bigr)\approx\begin{pmatrix}-0{,}7560150138\\[4pt]-0{,}5173073588\end{pmatrix}.
Iteração 4:
x^{(4)}=\begin{pmatrix}1{,}9128299357\\[4pt]1{,}0018647212\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(4)}\approx\begin{pmatrix}0{,}0955018777\\[4pt]0{,}02719196695\end{pmatrix},
F\bigl(x^{(4)}\bigr)\approx\begin{pmatrix}-0{,}346815536\\[4pt]-0{,}1631518014\end{pmatrix}.
Iteração 5:
x^{(5)}=\begin{pmatrix}1{,}9561818777\\[4pt]1{,}0082353810\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(5)}\approx\begin{pmatrix}0{,}0433519420\\[4pt]0{,}0063706598\end{pmatrix},
F\bigl(x^{(5)}\bigr)\approx\begin{pmatrix}-0{,}1670371082\\[4pt]-0{,}0382239586\end{pmatrix}.
Iterações 6 a 10 (resumo):
\begin{aligned} x^{(6)}&\approx\begin{pmatrix}1{,}9760615163\\[4pt]1{,}0081074379\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(6)}\approx\begin{pmatrix}0{,}0198796386\\[4pt]-0{,}0001279431\end{pmatrix},\\\ x^{(7)}&\approx\begin{pmatrix}1{,}9860173284\\[4pt]1{,}0063846632\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(7)}\approx\begin{pmatrix}0{,}0099558121\\[4pt]-0{,}0017227747\end{pmatrix},\\\ x^{(8)}&\approx\begin{pmatrix}1{,}9922105813\\[4pt]1{,}0044905681\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(8)}\approx\begin{pmatrix}0{,}0061932529\\[4pt]-0{,}0018940951\end{pmatrix},\\\ x^{(9)}&\approx\begin{pmatrix}1{,}9955439697\\[4pt]1{,}0029879558\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(9)}\approx\begin{pmatrix}0{,}0033333884\\[4pt]-0{,}0015026123\end{pmatrix},\\\ x^{(10)}&\approx\begin{pmatrix}1{,}9973984903\\[4pt]1{,}0019275620\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(10)}\|_{\infty}\approx 0{,}0018545206. \end{aligned}
Iterações 11 a 15 (resumo):
\begin{aligned} x^{(11)}&\approx\begin{pmatrix}1{,}9984582999\\[4pt]1{,}0011602330\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(11)}\|_{\infty}\approx 0{,}0010598096,\\\ x^{(12)}&\approx\begin{pmatrix}1{,}9990841209\\[4pt]1{,}0007327625\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(12)}\|_{\infty}\approx 0{,}0006258210,\\\ x^{(13)}&\approx\begin{pmatrix}1{,}9994204651\\[4pt]1{,}0004629704\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(13)}\|_{\infty}\approx 0{,}0003363442,\\\ x^{(14)}&\approx\begin{pmatrix}1{,}9996523613\\[4pt]1{,}0002894250\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(14)}\|_{\infty}\approx 0{,}0002318962,\\\ x^{(15)}&\approx\begin{pmatrix}1{,}9997900026\\[4pt]1{,}0001797121\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(15)}\|_{\infty}\approx 0{,}0001376413. \end{aligned}
Iterações 16 a 20 (resumo):
\begin{aligned} x^{(16)}&\approx\begin{pmatrix}1{,}9998725373\\[4pt]1{,}0001110699\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(16)}\|_{\infty}\approx 8{,}2535\cdot 10^{-5},\\\ x^{(17)}&\approx\begin{pmatrix}1{,}9999223671\\[4pt]1{,}0000684732\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(17)}\|_{\infty}\approx 4{,}983\cdot 10^{-5},\\\ x^{(18)}&\approx\begin{pmatrix}1{,}9999556224\\[4pt]1{,}0000387916\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(18)}\|_{\infty}\approx 3{,}3255\cdot 10^{-5},\\\ x^{(19)}&\approx\begin{pmatrix}1{,}9999729672\\[4pt]1{,}0000239013\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(19)}\|_{\infty}\approx 1{,}73448\cdot 10^{-5},\\\ x^{(20)}&\approx\begin{pmatrix}1{,}9999864774\\[4pt]1{,}0000146034\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(20)}\|_{\infty}\approx 1{,}3510\cdot 10^{-5}. \end{aligned}
Iterações 21 a 25 (até \|\Delta x\|_{\infty}<10^{-6}):
\begin{aligned} x^{(21)}&\approx\begin{pmatrix}1{,}9999914133\\[4pt]1{,}0000089328\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(21)}\|_{\infty}\approx 4{,}9359\cdot 10^{-6},\\\ x^{(22)}&\approx\begin{pmatrix}1{,}9999945901\\[4pt]1{,}0000053681\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(22)}\|_{\infty}\approx 3{,}1768\cdot 10^{-6},\\\ x^{(23)}&\approx\begin{pmatrix}1{,}9999966240\\[4pt]1{,}0000032460\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(23)}\|_{\infty}\approx 2{,}0339\cdot 10^{-6},\\\ x^{(24)}&\approx\begin{pmatrix}1{,}9999979063\\[4pt]1{,}0000019720\end{pmatrix},\quad \|\Delta x^{(24)}\|_{\infty}\approx 1{,}2823\cdot 10^{-6},\\\ x^{(25)}&\approx\begin{pmatrix}1{,}9999987067\\[4pt]1{,}0000012016\end{pmatrix},\quad \Delta x^{(25)}\approx\begin{pmatrix}8{,}0035\cdot 10^{-7}\\[4pt]-7{,}6992\cdot 10^{-7}\end{pmatrix},\\\ &\qquad\|\Delta x^{(25)}\|_{\infty}\approx 8{,}0035\cdot 10^{-7}<10^{-6}. \end{aligned}
O SOR com \lambda=0{,}5 convergiu em 25 iterações até a tolerância escolhida; vetor final aproximado é x^{(25)} indicado.]

Passo 7

Cálculo dos erros absolutos e relativos (item d). Primeiro precisamos da solução exata x^\ast para comparar; é correto usar a solução exata apenas para medir erro (não para substituir iterações).
Resolver o sistema exatamente por eliminação (curtíssimo):
4X_1 + X_2 = 9 \Rightarrow X_2 = 9 - 4X_1.
Substituindo na segunda:
2X_1 + 6(9 - 4X_1) = 10 \Rightarrow 2X_1 + 54 - 24X_1 = 10 \Rightarrow -22X_1 = -44 \Rightarrow X_1 = 2.
Então X_2 = 9 - 4\cdot 2 = 1. Solução exata:
x^\ast = \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Agora calcule erro absoluto (vetor) e erro relativo (norma infinito relativa) para cada método, usando os resultados finais obtidos.
  • Gauss–Jacobi (final x^{(13)}\approx(2{,}0000000837,\;1{,}0000002233)):
    e_{\text{abs}}^{(\text{J})} = \bigl|x^{(13)} - x^\ast\bigr| \approx \begin{pmatrix}8{,}37\cdot 10^{-8}\\[4pt]2{,}233\cdot 10^{-7}\end{pmatrix}.
    Norma infinito do erro absoluto: \|e_{\text{abs}}^{(\text{J})}\|_{\infty}\approx 2{,}233\cdot 10^{-7}.
    Erro relativo (norma infinito):
    e_{\text{rel}}^{(\text{J})} = \dfrac{\|e_{\text{abs}}^{(\text{J})}\|_{\infty}}{\|x^\ast\|_{\infty}} = \dfrac{2{,}233\cdot 10^{-7}}{2} \approx 1{,}1165\cdot 10^{-7}.
  • Gauss–Seidel (final x^{(7)}\approx(2{,}0000000837,\;0{,}9999999721)):
    e_{\text{abs}}^{(\text{GS})} \approx \begin{pmatrix}8{,}37\cdot 10^{-8}\\[4pt]2{,}79\cdot 10^{-8}\end{pmatrix},
    \|e_{\text{abs}}^{(\text{GS})}\|_{\infty}\approx 8{,}37\cdot 10^{-8}.
    Erro relativo:
    e_{\text{rel}}^{(\text{GS})}\approx \dfrac{8{,}37\cdot 10^{-8}}{2}=4{,}185\cdot 10^{-8}.
  • SOR com \lambda=0{,}5 (final x^{(25)}\approx(1{,}9999987067,\;1{,}0000012016)):
    e_{\text{abs}}^{(\text{SOR})}\approx\begin{pmatrix}1{,}2933\cdot 10^{-6}\\[4pt]1{,}2016\cdot 10^{-6}\end{pmatrix},
    \|e_{\text{abs}}^{(\text{SOR})}\|_{\infty}\approx 1{,}2933\cdot 10^{-6}.
    Erro relativo:
    e_{\text{rel}}^{(\text{SOR})}\approx \dfrac{1{,}2933\cdot 10^{-6}}{2}=6{,}4665\cdot 10^{-7}.
Observações rápidas (didáticas, para a prova): Gauss–Seidel convergiu mais rápido que Jacobi (7 vs 13 iterações) porque usa atualizações imediatas; o SOR com \lambda=0{,}5 (sub-relaxação) convergiu, mas mais devagar (25 iterações) — sub-relaxação tende a desacelerar a convergência comparado ao GS, embora possa melhorar estabilidade em alguns casos. Para acelerar normalmente se escolhe \lambda>1 apropriado (over-relaxation), mas aqui foi pedido \lambda=0{,}5.]

Resposta

(a) Gauss–Jacobi: x \approx \begin{pmatrix}2{,}0000000837\\[4pt]1{,}0000002233\end{pmatrix} (convergiu em 13 iterações, \|\Delta x^{(13)}\|_{\infty}\approx 2{,}233\cdot 10^{-7}).
(b) Gauss–Seidel: x \approx \begin{pmatrix}2{,}0000000837\\[4pt]0{,}9999999721\end{pmatrix} (convergiu em 7 iterações, \|\Delta x^{(7)}\|_{\infty}\approx 9{,}209\cdot 10^{-7}).
(c) A cada iteração foram calculados \Delta x^{(k)}=x^{(k)}-x^{(k-1)} e F\bigl(x^{(k)}\bigr)=A x^{(k)}-b; os valores por iteração foram listados nos passos da resolução (ex.: para Jacobi a iteração final k=13 tem \Delta x^{(13)}\approx(8{,}352\cdot10^{-8},\;2{,}233\cdot10^{-7})^T e F(x^{(13)})\approx(5{,}58\cdot10^{-7},\;1{,}507\cdot10^{-6})^T).
(d) Erros (comparando com x^\ast=(2,1)^T):
  • Jacobi: erro absoluto \approx(8{,}37\cdot10^{-8},\;2{,}233\cdot10^{-7})^T, erro relativo (norma infinito) \approx 1{,}1165\cdot10^{-7}.
  • Gauss–Seidel: erro absoluto \approx(8{,}37\cdot10^{-8},\;2{,}79\cdot10^{-8})^T, erro relativo \approx 4{,}185\cdot10^{-8}.
  • SOR ( \lambda=0{,}5): erro absoluto \approx(1{,}2933\cdot10^{-6},\;1{,}2016\cdot10^{-6})^T, erro relativo \approx 6{,}4665\cdot10^{-7}.
(e) SOR ( \lambda=0{,}5): x \approx \begin{pmatrix}1{,}9999987067\\[4pt]1{,}0000012016\end{pmatrix} (convergiu em 25 iterações, \|\Delta x^{(25)}\|_{\infty}\approx 8{,}0035\cdot10^{-7}).]

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