Calcule o resultado das operações abaixo:
10 \angle 45^{\circ}+30 \angle-135^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede a soma de dois fasores em forma polar:
\displaystyle 10\angle 45^\circ e \displaystyle 30\angle -135^\circ.
O conteúdo envolvido é soma de números complexos (ou fasores) em representação polar, e os passos são: converter para forma retangular, somar parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária, e então converter o resultado de volta para a forma polar.

Passo 2

Converter cada fasor para a forma retangular x + j\,y.
Para \displaystyle 10\angle 45^\circ:
x_1 = 10\cos 45^\circ = 10\cdot \frac{\sqrt2}{2} = 5\sqrt2, \quad y_1 = 10\sin 45^\circ = 10\cdot \frac{\sqrt2}{2} = 5\sqrt2.
Para \displaystyle 30\angle -135^\circ:
x_2 = 30\cos(-135^\circ) = 30\cdot\Bigl(-\frac{\sqrt2}{2}\Bigr) = -15\sqrt2, \quad y_2 = 30\sin(-135^\circ) = 30\cdot\Bigl(-\frac{\sqrt2}{2}\Bigr) = -15\sqrt2.

Passo 3

Somar as partes reais e as partes imaginárias:
x = x_1 + x_2 = 5\sqrt2 + (-15\sqrt2) = -10\sqrt2,
y = y_1 + y_2 = 5\sqrt2 + (-15\sqrt2) = -10\sqrt2.
Logo o fasor resultante em retangular é
\displaystyle Z = -10\sqrt2 \;+\; j\,(-10\sqrt2).

Passo 4

Converter Z para a forma polar. Primeiro o módulo:
|Z| = \sqrt{(-10\sqrt2)^2 + (-10\sqrt2)^2} = \sqrt{200 + 200} = \sqrt{400} = 20.
Depois o ângulo \theta:
\theta = \atan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) = \atan\!\bigl(\tfrac{-10\sqrt2}{-10\sqrt2}\bigr) = \atan(1) = 45^\circ.
Como x<0 e y<0, o fasor está no terceiro quadrante, então adicionamos 180^\circ:
\theta = 45^\circ + 180^\circ = 225^\circ,
que é equivalente a -135^\circ em notação habitual.

Passo 5

Portanto, a soma dos dois fasores em forma polar é
20\angle -135^\circ.

Resposta

20\angle -135^\circ

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