Calcule rot F e div F para o seguintes campos de vetores.
F(x, y, z)=1raizx^2+y^2+z^2lang<= x, y, zrang<=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional e a divergência do campo de grau superior em cálculo vetorial dado por
vec F(x,y,z)=1raizx^2+y^2+z^2lang<= x,y,zrang<=
O assunto aqui é operadores diferenciais em campos vetoriais (rotacional e divergência) em coordenadas cartesianas, usando as definições:
rotvec F=nablatimesvec F, divvec F=nablacdotvec F

Passo 2

Primeiro vamos mostrar que o rotacional é nulo. Note que
vec F=l(xr^-1,yr^-1,zr^-1r),
com r=raizx^2+y^2+z^2. Usando a fórmula em componentes,
(rotvec F)1=partialyF3-partialzF2,
partialyF3=partialyl(zr^-1r)=zl(-tfrac12r)2y,r^-3=-yz,r^-3,
partialzF2=partialzl(yr^-1r)=yl(-tfrac12r)2z,r^-3=-yz,r^-3,
portanto (rotvec F)1=0. De modo análogo, calculando as outras componentes a gente vê que todas dão zero, ou seja,
rotvec F=lang<=0,0,0rang<=

Passo 3

Agora vamos à divergência. A definição é
divvec F=partialxFx+partialyFy+partialzFz
Cálculo de partialxFx:
partialxl(xr^-1r)=r^-1+xl(-tfrac12r)2x,r^-3=r^-1-x^2r^-3
Analogamente,
partialyFy=r^-1-y^2r^-3, partialzFz=r^-1-z^2r^-3
Somando as três partes,
divvec F=3r^-1-(x^2+y^2+z^2)r^-3=3r^-1-r^2r^-3=2r^-1

Passo 4

Portanto, para pontos onde r=raizx^2+y^2+z^2neq0, temos as expressões finais do rotacional e da divergência.

Resposta

rot,\vec F=\langle0,0,0\rangle,\quad div,\vec F=\frac{2}{\sqrt{x2+y2+z^2}}

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