Calcule rot F e div F para o seguintes campos de vetores.
F(x, y, z)=lang<= x y z, 0,-x^2 yrang<=

Passo 1

O enunciado pede pra gente calcular o rotacional e a divergência do campo de vetores vec F(x,y,z)=lang<= xyz,,0,,-x^2yrang<=. O tema aqui é análise vetorial: vamos usar as definições de rotacional ( nablatimesvec F) e divergência ( nablacdotvec F).

Passo 2

Pra achar o rotacional, lembramos que nablatimesvec F em coordenadas cartesianas é dado por
nablatimesvec F=l(partialyF3-partialzF2,;partialzF1-partialxF3,;partialxF2-partialyF1r)
Agora vamos calcular cada componente seguindo essa fórmula.

Passo 3

Para a componente i:
partialyF3-partialzF2=partialy(-x^2y)-partialz(0)=-x^2-0=-x^2

Passo 4

Para a componente j:
partialzF1-partialxF3=partialz(xyz)-partialx(-x^2y)=xy-(-2xy)=3xy

Passo 5

Para a componente k:
partialxF2-partialyF1=partialx(0)-partialy(xyz)=0-(xz)=-xz

Passo 6

Agora, pra divergência, usamos a definição nablacdotvec F=partialxF1+partialyF2+partialzF3.
Aplicando ao nosso campo:
nablacdotvec F=partialx(xyz)+partialy(0)+partialz(-x^2y)=yz+0+0=yz

Resposta

$\nabla\times\vec F=\langle -x^2,\,3xy,\,-xz\rangle$ e $\nabla\cdot\vec F=yz$

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