Calcule rot F e div F para o seguintes campos de vetores.
F(x, y, z)=lang<= e^x sen y, e^x cos y, zrang<=

Passo 1

O campo vetorial dado é vec F(x,y,z)=lang<= e^xsin y,,e^xcos y,,zrang<=. O conteúdo da matéria é divergência ( divvec F) e rotacional ( rotvec F), e vamos precisar usar derivadas parciais e o operador nabla nabla=(partialx,partialy,partialz).

Passo 2

A divergência de um campo vec F=lang<= P,Q,Rrang<= em coordenadas cartesianas é definida como
divvec F=partial Ppartial x+partial Qpartial y+partial Rpartial z

Passo 3

Calculamos cada derivada parcial para o nosso vec F:
partial Ppartial x=partialpartial x(e^xsin y)=e^xsin y,
partial Qpartial y=partialpartial y(e^xcos y)=-e^xsin y,
partial Rpartial z=partialpartial z(z)=1
Somando, obtemos
divvec F=e^xsin y - e^xsin y +1=1

Passo 4

O rotacional de vec F=lang<= P,Q,Rrang<= é dado pelo determinante
rotvec F=nablatimesvec F= i & j & k partialx & partialy & partialz P & Q & R

Passo 5

Para calcular cada componente, usamos
(rotvec F)1=partial Rpartial y-partial Qpartial z, (rotvec F)2=partial Ppartial z-partial Rpartial x, (rotvec F)3=partial Qpartial x-partial Ppartial y
Como R=z não depende de y nem de x e P,Q não dependem de z, todas as derivadas cruzadas dão zero, e ainda
partial Qpartial x=e^xcos y, partial Ppartial y=e^xcos y
que também se cancelam no componente 3. Logo
rotvec F=lang<=0,0,0rang<=

Resposta

divvec F=1 e rotvec F=lang<=0,0,0rang<=.

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