Uma sequência
é dada por
e
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Conclua que o a sequência é convergente e calcule seu limite quando
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Conclua que o a sequência é convergente e calcule seu limite quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por $ a_1 = \sqrt{2} $ e $ a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} $. Nosso desafio é mostrar que essa sequência chega a um valor fixo quando $ n $ fica bem grande (ou seja, quando $ n $ tende ao infinito) e descobrir qual é esse valor. Para isso, vamos usar conceitos de progressões numéricas e limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos ver como a sequência se comporta. Vamos calcular os primeiros termos para ter uma ideia:
- $ a_1 = \sqrt{2} \approx 1,414 $
- $ a_2 = \sqrt{2 + a_1} = \sqrt{2 + 1,414} \approx \sqrt{3,414} \approx 1,847 $
- $ a_3 = \sqrt{2 + a_2} = \sqrt{2 + 1,847} \approx \sqrt{3,847} \approx 1,961 $
Vemos que os termos estão aumentando. Então, parece que a sequência é crescente.
Passo 3
Agora, vamos provar matematicamente que a sequência é de fato crescente. Ou seja, que cada termo é maior ou igual ao anterior. Vamos assumir que $ a_n \leq a_{n+1} $ e mostrar que isso é verdade:
Sabemos que $ a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} $. Se $ a_n \leq a_{n+1} $, então $ \sqrt{2 + a_n} \leq \sqrt{2 + a_{n+1}} $, o que confirma que a sequência está aumentando.
Passo 4
Além disso, precisamos mostrar que a sequência está limitada, ou seja, que ela não cresce indefinidamente. Vamos supor que existe um número $ L $ tal que todos os termos da sequência são menores ou iguais a $ L $.
Observando os cálculos anteriores, vimos que os termos estão se aproximando de 2. Então, vamos verificar se 2 é um limite superior.
Para qualquer $ a_n $, temos:
Assim, todos os termos são menores ou iguais a 2. Portanto, a sequência é limitada por 2.
Passo 5
Como mostramos que a sequência é crescente e está limitada, podemos concluir, pela regra das sequências monótonas, que ela é convergente. Ou seja, ela chega a um valor fixo quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite $ L $ da sequência. Sabemos que:
Vamos resolver essa equação para $ L $:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Rearranjando:
Resolvendo a equação quadrática:
Como estamos lidando com medidas positivas (raízes quadradas), descartamos a solução negativa:
Resposta
O limite da sequência quando $ n $ tende ao infinito é 2.