Calcule rot F e div F para o seguintes campos de vetores.
F(x, y, z)=lang<= 5 x^3+12 x y^2, y^3+e^y sen z, 5 z^3+e^y cos zrang<=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional e a divergência de F(x,y,z)=lang<= 5x^3+12xy^2,;y^3+e^ysin z,;5z^3+e^ycos zrang<=. Vamos usar as definições seguintes:
divF = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
nablatimesF = l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,;partial Ppartial z-partial Rpartial x,;partial Qpartial x-partial Ppartial yr)

Passo 2

Para calcular a divergência, identificamos
P=5x^3+12xy^2, Q=y^3+e^ysin z e R=5z^3+e^ycos z. Então:
partial Ppartial x = 15x^2 + 12y^2, partial Qpartial y = 3y^2 + e^ysin z, partial Rpartial z = 15z^2 - e^ysin z
Somando, obtemos
divF = 15x^2 + (12+3)y^2 + 15z^2 = 15(x^2+y^2+z^2)

Passo 3

Para o rotacional, usamos cada componente:
(nablatimesF)x = partial Rpartial y - partial Qpartial z = e^ycos z - e^ycos z = 0,
(nablatimesF)y = partial Ppartial z - partial Rpartial x = 0 - 0 = 0,
(nablatimesF)z = partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - 24xy = -24xy
Logo,
nablatimesF = lang<= 0,0,-24xyrang<=

Resposta

(1) divF = 15(x^2+y^2+z^2);
(2) nablatimesF = lang<=0,0,-24xyrang<=.

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