Calcule rot F em cada um dos ítens abaixo.
(b) F(x, y, z)=x i+y j+x z k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a rot da função vetorial F(x, y, z) = x i + y j + x z k. Esse cálculo faz parte do Cálculo Vetorial, mais especificamente do estudo do rotacional de um campo vetorial. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do rotacional, que envolve derivadas parciais das componentes do vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional (ou rot) de um campo vetorial. O rotacional nos dá uma medida de quanto o campo está girando em torno de um ponto. Matematicamente, para um campo vetorial F = P i + Q j + R k, o rotacional é dado por:
rot F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes do nosso vetor F:
  • P = x
  • Q = y
  • R = x z

Passo 4

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias:
  1. Primeira componente ( i):
    partial Rpartial y = partial (x z)partial y = 0 (pois x z não depende de y) ã
    partial Qpartial z = partial ypartial z = 0 (pois y não depende de z) ã
    Então,
    partial Rpartial y - partial Qpartial z = 0 - 0 = 0
  2. Segunda componente ( j):
    partial Ppartial z = partial xpartial z = 0 (pois x não depende de z) ã
    partial Rpartial x = partial (x z)partial x = z
    Então,
    partial Ppartial z - partial Rpartial x = 0 - z = -z
  3. Terceira componente ( k):
    partial Qpartial x = partial ypartial x = 0 (pois y não depende de x) ã
    partial Ppartial y = partial xpartial y = 0 (pois x não depende de y) ã
    Então,
    partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - 0 = 0

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo usando a fórmula do rotacional:
rot F = 0 i - z j + 0 k = -z j

Resposta

O rotacional de F é rot F = -z j.

Exercícios relacionados