Determine e classifique os pontos críticos da função
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar e classificar os pontos críticos da função $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} - 2x $. Isso está ligado ao estudo de funções de várias variáveis e aos pontos onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $, encontrar onde elas são iguais a zero (esses são os pontos críticos) e depois verificar a natureza desses pontos usando a segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Para isso, igualamos as derivadas parciais a zero.
Então, temos um ponto crítico em $ (1, 0) $.
Passo 4
Agora precisamos classificar esse ponto crítico. Para isso, usamos a segunda derivada e calculamos o discriminante $ D $, que ajuda a determinar a natureza do ponto crítico.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Agora, calculamos o discriminante $ D $:
Passo 5
Interpretamos o valor de $ D $ para classificar o ponto crítico:
- Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, então há um mínimo local.
- Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, então há um máximo local.
- Se $ D < 0 $, é um ponto de sela.
- Se $ D = 0 $, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, $ D = 4 > 0 $ e $ f_{xx} = 2 > 0 $. Portanto, o ponto $ (1, 0) $ é um mínimo local.
Resposta
O ponto crítico da função $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} - 2x $ é $ (1, 0) $ e é um mínimo local.