Determine e classifique os pontos críticos da função f.
f(x, y)=x^2+y^2-2 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar e classificar os pontos críticos da função $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} - 2x $. Isso está ligado ao estudo de funções de várias variáveis e aos pontos onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $, encontrar onde elas são iguais a zero (esses são os pontos críticos) e depois verificar a natureza desses pontos usando a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Para isso, igualamos as derivadas parciais a zero.
fx = 0 Rightarrow 2x - 2 = 0
2x = 2
x = 1
fy = 0 Rightarrow 2y = 0
y = 0
Então, temos um ponto crítico em $ (1, 0) $.

Passo 4

Agora precisamos classificar esse ponto crítico. Para isso, usamos a segunda derivada e calculamos o discriminante $ D $, que ajuda a determinar a natureza do ponto crítico.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
D
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 2
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 2
Agora, calculamos o discriminante $ D $:
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 0
D
D = fxx cdot fyy - (fxy)^2

Passo 5

Interpretamos o valor de $ D $ para classificar o ponto crítico:
  • Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, então há um mínimo local.
  • Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, então há um máximo local.
  • Se $ D < 0 $, é um ponto de sela.
  • Se $ D = 0 $, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, $ D = 4 > 0 $ e $ f_{xx} = 2 > 0 $. Portanto, o ponto $ (1, 0) $ é um mínimo local.

Resposta

O ponto crítico da função $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} - 2x $ é $ (1, 0) $ e é um mínimo local.

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