Determine e classifique os pontos críticos da função f.
f(x, y)=x+y-x y.

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar e classificar os pontos críticos da função de duas variáveis f(x,y)=x+y−x*y. O conteúdo é ponto crítico via derivadas parciais e classificação pelo teste das segundas derivadas (Hessiana).

Passo 2

Para achar pontos críticos, precisamos calcular as derivadas parciais de f e igualar a zero. Segundo a teoria, pontos críticos satisfazem ∇f(x,y)=0, ou seja:
partial fpartial x=0 e partial fpartial y=0
Vamos calcular as derivadas:
partial fpartial x=1-y, partial fpartial y=1-x
Igualando a zero: 1−y=0 ⇒ y=1 e 1−x=0 ⇒ x=1. Então o único ponto crítico é (1,1).

Passo 3

Para classificar, montamos a matriz Hessiana H, cujos elementos são as derivadas segundas:
H= fxx & fxy fyx & fyy
No nosso caso: f_{xx}=0, f_{yy}=0 e f_{xy}=f_{yx}=−1. Logo:
H(1,1)=0 & -1 -1 & 0
O determinante de H vale det(H)=0·0−(−1)²=−1. Como det(H)<0, o ponto é de sela, segundo o critério das segundas derivadas.

Resposta

O único ponto crítico é (1,1), e ele é um ponto de sela.

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