Considere a superfície definida pela equação
Determine em quais pontos o plano tangente é horizontal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma superfície definida pela equação
e pede para encontrarmos os pontos onde o plano tangente é horizontal. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre planos tangentes a superfícies. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e usar essas derivadas para determinar o plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de uma maneira que facilite o cálculo das derivadas parciais. Podemos considerar
como uma função de
e
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função
muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 4
Um plano tangente é horizontal quando sua inclinação nas direções
e
é zero. Isso significa que as derivadas parciais em relação a
e
devem ser iguais a zero:
Então, temos o sistema de equações:
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
e
que satisfazem ambas as equações.
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Então,
. Substituindo esse valor na expressão para
:
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos encontrar o valor de
substituindo esses valores na equação original da superfície:
Resposta
O único ponto onde o plano tangente à superfície
é horizontal é o ponto
.