Considere a superfície definida pela equação
x^2-x y-y^2-z=0
Determine em quais pontos o plano tangente é horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma superfície definida pela equação e pede para encontrarmos os pontos onde o plano tangente é horizontal. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre planos tangentes a superfícies. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e usar essas derivadas para determinar o plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de uma maneira que facilite o cálculo das derivadas parciais. Podemos considerar z = x^2 - xy - y^2 como uma função de e :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de partial zpartial x = 2x - y em relação a partial zpartial y = -x - 2y e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Um plano tangente é horizontal quando sua inclinação nas direções partial zpartial x = 0 e partial zpartial y = 0 e 2x - y = 0 -x - 2y = 0 é zero. Isso significa que as derivadas parciais em relação a e devem ser iguais a zero:
Então, temos o sistema de equações:

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de 2x - y = 0 implies y = 2x e -x - 2(2x) = -x - 4x = -5x = 0 implies x = 0 que satisfazem ambas as equações.
Da primeira equação:
y = 2(0) = 0
Substituindo na segunda equação:
Então, . Substituindo esse valor na expressão para :

Passo 6

Agora que temos z = (0)^2 - (0)(0) - (0)^2 = 0 e , vamos encontrar o valor de substituindo esses valores na equação original da superfície:

Resposta

O único ponto onde o plano tangente à superfície é horizontal é o ponto .

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